四棱锥P-ABCD的三视图如图所示．
（1）在四凌锥中，E为线段PD的中点，求证：PB∥平面AEC；
（2）在四凌锥中，F为线段PA上的点，且

PF

FA

=λ，则λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F-BDC的体积．

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四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，各侧棱均与底面边长相等，E、F分别是PA、PC的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE丄平面BDF；
（3）求四面体E-BDF的体积．

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，四棱锥P-ABCD的体积V=

2

3

，E为PB的中点，点F在棱BC上移动．
（1）求证：PF⊥AE；
（2）当F为BC中点时，求点F到平面BDP的距离；
（3）在侧面PAD内找一点G，使GE⊥平面PAC．

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使得三棱锥F-ACE的体积恰为

4

3

，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

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一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

C

D

D

A

B

B

C

B

A

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．（1，0）     14．       15．1      16．②③

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

   解：（Ⅰ）由

        ……………………………………4分

     又因为

     解得…………………………………………5分

     ………………………………………6分

（Ⅱ）在，

        。……………………………………………9分

，

即,

又由（Ⅰ）知

故取得最大值时，为等边三角形. …………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设抽取的样本为名学生的成绩，

则由第一行中可知

；

②处的数值为;

③处的数值为…………4分

   （Ⅱ）成绩在[70，80分的学生频率为0.2，成绩在[80.90分的学生频率为0.32，

所以成绩在[70.90分的学生频率为0.52，……………………………………6分

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以成绩在[70.90分的学生约为（人）………………8分

   （Ⅲ）利用组中值估计平均为

…………12分

19．（本小题满分12分）

解：（I）由几何体的三视图可知，低面ABCD是边长为4的正方形，

，…………………………………3分

且,

………………6分

   （Ⅱ）连，

，

°

°

………………10分

又

……………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

解：（I）10年后新建住房总面积为

    。………………………3分

    设每年拆除的旧住房为………………5分

    解得,即每年拆除的旧住房面积是…………………………………6分

（Ⅱ）设第年新建住房面积为，则=

所以当；…………………………………………9分

当

故……………………………………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形，因为，

    故，

    为直径的圆，

    故其方程为………………………………………………3分

    设椭圆的方程为，

    又.

    故椭圆………………………………………5分

   （Ⅱ）直线始终与圆相切。

    设。

    当。

    若

                ；

    若

                 ；

    即当……………………………7分

    当时，，

    。

    因此，点Q的坐标为。

    ……………10分

    当，

    。

    综上，当,…………12分

22．（本小题满分14分）

解：（I）（1），

    。…………………………………………1分

    处取得极值，

    …………………………………………………2分

    即

    ………………………………………4分

   （ii）在，

    由

           ，

    ；

    当;

    ;

    .……………………………………6分

    面

    ，

    且

    又

    ，

    ……………9分

   （Ⅱ）当，

    ①；

    ②当时，

    ，

    ③，

    从面得;

    综上得，.………………………14分