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在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直线l过点O（0，0），且被⊙C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：过点P的任意互相垂直的直线l₁和l₂，只要l₁和l₂与⊙C₁和⊙C₂分别相交，必有直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将（2）的直线l₁和l₂互相垂直改为直线l₁和l₂所成的角为60°，其余条件不变，直接写出所有这样的点P的坐标．（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度．）

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在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直线l过点O（0，0），且被⊙C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：过点P的任意互相垂直的直线l₁和l₂，只要l₁和l₂与⊙C₁和⊙C₂分别相交，必有直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将（2）的直线l₁和l₂互相垂直改为直线l₁和l₂所成的角为60°，其余条件不变，直接写出所有这样的点P的坐标．（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度．）

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在平面四边形ABCD中，△ABC为正三角形，△ADC为等腰直角三角形，AD=DC=2，将△ABC沿AC折起，使点B至点P，且PD=2，M为PA的中点，N在线段PD上．

（I）若PA⊥平面CMN，求证：AD∥平面CMN；
（II）求直线PD与平面ACD所成角的余弦值．

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考 生 填 写 座 位

号 码 的 末 两 位

题 号

一

二

三

四

17

18

19

20

21

22

23

得 分

一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

A

B

A

C

D

D

C

D

得分

评卷人

二．填空题(请把答案填在对应题号的横线上)

13..    14．.

15．.    16. （或） .

三.解答题（本大题共5小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置.）

17.( 本题满分12分)

解：（Ⅰ）由递推关系（2分）得，（3分）；；（6分），

（Ⅱ）由，即（7分），所以；.........12分（不单列扣1分）

18．（本题满分12分）

证明：（Ⅰ） 在三棱柱中，

    ∵侧棱垂直底面，

∴ 四边形，，都是矩形，

又 ∵ ，，，

∴ ，又 ∵ 为中点，

在中，，同理，．

     ∴ ，∴ ，.....4分

     在中，，

     在中，，

∴ ，∴ ．....6分

又 ，

∴　．..........8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴ 直线与平面所成的角为．..........9分

在中，

∴ ，...............11分

即 直线与平面所成的角的余弦值为．.......12分

解法二：（Ⅰ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，（3分），则 ，，，  ∴ ，

∴，∴（5分），

∴ ，

∴ ，∴（7分）

又 ，∴ ．....8分

（Ⅱ）设向量与的夹角为，

∵，

∴....10分

设直线与平面所成的角为

∵平面

∴

∴直线与平面所成角的余弦值为.…………………………12分

19．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）每个提升站需要紧急维修的概率为（2分），不需要紧急维修的概率为（3分），设需要维修的提升站数为，则．

， （4分）

， （5分）

， （6分）

．（7分）

（Ⅱ）∵，∴ 的取值是，则（元）的分布列是：

..................（9分）

∵，∴，又 ，

∴  ．

（或）

答：紧急维修费用的数学期望是750元．..........12分

20.（本题满分14分）

解： (Ⅰ)设“封闭函数 ” 的“封闭区间”为 ，其中．

 在上为减函数，故有：，

解得：，，

∴ 的“封闭区间”为．.........4分

(Ⅱ)，令，得：....6分

∴ 在(，0)上是增函数，在(2 ，+)上也是增函数；在(0 ，2)上是减函数．

显然在上不是单调函数，故不是上的“封闭函数 ”．...8分

(Ⅲ)假设存在实数，使函数是上的“封闭函数 ”且“封闭区间”是，则

(1)    函数在上是单调函数．

，若函数在上是增函数，则对恒成立，则：；解得：．...10分

(2)    由，知，故函数在上是增函数，所以， 函数在区间 上是增函数，故有：

，∵，∴，从而方程至少有两个不相等的实数根．

又方程有一根为，故：方程至少有一个不为的根．

∴，解得：且0..........13分

由(1)，(2)知：3．..........14分

21.（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵离心率，且短半轴长，

∴ ，∴，

     ∴ 椭圆的方程为．.............5分

（Ⅱ）设，则，，则（6分），则直线的方程为，联立，得

（8分），

（或写成：（8分），

（或，即 （8分）

 ∵ ，∴ ）

解之：，（10分），

∴ （11分），

（或，（11分），）

又 ∵、、三点共线，∴ （12分），而 ，

∴ ，..............13分

（或（13分），解之：......14分）

∵ ，∴ ，解之： .........14分．

四．选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分,满分10分； 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）

你选做_______题(请在横线上注明题号)

解（或证明）：

22.证明：∵是的切线，直线是的割线

∴ ，（2分）

  又 ∵ ，∴ ，∴（5分），

     ∵ ，

∴ △与△两边对应成比例，且夹角相等（7分），

∴ △∽△（8分）

∴ （10分）．

23.解:（Ⅰ）直线的参数方程是，即 ..5分

（Ⅱ）设，则，

∵，（7分），

∴ ，即圆的极坐标方程为     

．.........10分

24.解：由 得 ，∴不等式的解集为（4分）

∵

∴当≤1时，为空集，显然成立，......6分

当＞1时，=......8分

由  得  或    或，即，

这与＞1矛盾，

综合上述得：≤1．.......10分