已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即    解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

 

定义在R上的函数满足，当x∈（0，1]时，，设  ，则a，b，c大小关系是（    ）

   A.a>b>c               B.a>c>b      C.b>c>a       D.c>b>a               

 

2．A解析：由知函数在上有零点，又因为函数在(0,+)上是减函数，所以函数y=f(x) 在(0,+)上有且只有一个零点不妨设为,则，又因为函数是偶函数，所以=0并且函数在(0,+)上是减函数，因此-是(-，0)上的唯一零点，所以函数共有两个零点

下列叙述中，是随机变量的有（    ）

①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差;②标准状态下，水沸腾的温度;③某大桥一天经过的车辆数;④向平面上投掷一点，此点坐标.

Ａ．②③　　  　    Ｂ．①②　　   Ｃ．①③④   　 　　Ｄ．①③

已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图，该棱锥中，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（I）画出该棱锥的直观图并证明：无论点E在棱BC的何处，总有PE⊥AF；
（II）连接DE，设G为DE上一动点，当三棱锥P-AGE的体积为

3

12

时，试确定G在DE上的位置．

已知函数f（x）=

ax

x2+b

，在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间；
（3）若P（x₀，y₀）为f（x）=

ax

x2+b

图象上任意一点，直线/与．f（x）的图象切于P点，不妨设直线l的斜率为对于任意的x₀∈R和对于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求实数c的取值范围．