如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设

PG

=λ

PQ

，将

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）设

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，证明：

1

x

+

1

y

是定值；
（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求

T

S

的取值范围．

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如图，已知A（1，0），B（0，2），C₁为AB的中点，O为坐标原点，过C₁作C₁D₁⊥OA于D₁点，连接BD₁交OC₁于C₂点，过C₂作C₂D₂⊥OA于D₂点，连接BD₂交OC₁于C₃点，过C₃作C₃D₃⊥OA于D₃点，如此继续，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），记D_n的坐标为（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n与a_n+1的关系式，并求出a_n的表达式；
（3）设△OC_nD_n的面积为b_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：Sn＜

3

4

．

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如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂．问：是否存在直线l，使得

S1

S2

=

17

32

？请说明理由．

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如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：

k1

k2

为定值．

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如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=

3

，连接CC′．
（Ⅰ）若E为CC′的中点，证明：AC′∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥C′-ABD的体积．

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选择题： CABDA   BBADA   BB

4、原式

由条件可求得：    原式   故选D

5、由题得，则是公比为的等比数列，则，故选答案

6、由已知可得，直线的方程，

直线过两个整点，（），即，故应选B

7、令，则，其值域为．由

对数函数的单调性可知：，且的最小值而，

故选答案。

8、共有个四位数，其中个位数字是1，且恰好有两个相同数字的四位数分为两类：一类：“1”重复，有个；另一类；其他三个数字之一重复，有种。所以答案为：A

9、由题意可知满足的的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲线型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点，故选D

10、选。可以证明D点和AB的中点E到P点和C点的距离相等，所以排除B和C选项。满足的点在PC的中垂面上，PC的中垂面与ABCD的交线是直线，从而选A。

11、解：以的平分线所在直线为轴，建立坐标系，设，则则、、，

所以

，故当且仅当，即为正三角形时，  故选B

12、则，

，

故则的最小值为，故选答案。

二、填空题

13、。

14、利用正弦定理可将已知等式变为即，

，  

当时，有最大值

15、。

16、。画图分析得球在二面角内的那一部分的体积是球的体积的，所以。

三、解答题：

17、解：

（1）由得或

在上是增函数，

可额可得

18、（1）如图建立空间直角坐标系，则

设

分别为的重心，，

，即

（2）（i）平面，

，平面的法向量为，

平面的法向量为

故，即二面角的大小为

（ii）设平面的法向量，

，由解得

又，点到平面的距离为

18、解：（I）抽取的球的标号可能为1，2，3，4

则分别为0，1，2，3：分别为

因此的所有取值为0，1，2，3，4，5

当时，可取最大值5，此时

（Ⅱ）当时，的所有取值为（1，2），此时；

当时，的所有取值为（1，1），（1，3），（2，2），此时

当时，的所有取值为（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此时

当时，的所有取值为（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此时

当时，的所有取值为（3，4），（4，1），（4，3），此时

故的分布列为：

0

1

2

3

4

5

。

20解：（1）

   故。

（Ⅱ）由（I）知

令则。当时，；

当时，

（Ⅲ），

①-②得

令则

。

则。

而  。

21、（I）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为

如图，设其中，

且满足方程故①

由知得

由在上知得。

所以，化简得，

解得或。

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点，到的距离分别为

，

又，所以四边形的面积为

，

当即当时，上式取等号，所以的最大值为2。

解法二：由题设，，

设由①得，

故四边形的面积为+=

当时，上式取等号，所以的最大值为

22、解：（I）由题设可得

函数在上是增函数，

当时，不等式即恒成立。

当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；

（Ⅱ）当时，

当时，，于是 在上单调递减；

当时，，于是在上单调递增。

又

综上所述，当时，函数在上的最小值为，当时，

函数在上的最大值为

（Ⅲ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数

对于任意的正整数，有，则

即，。

。

而则成立，