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（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）
已知双曲线C：的一个焦点是，且。
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上。
（3）设（2）中直线与双曲线C的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。

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一、填空题

1．   2．,    3．    4．2   5．1     6．

7．50   8．  9．-2   10．    11．2     12．

13．2     14．

二、解答题

15[解]：证：设   ,连 。                    

 ⑴  ∵为菱形，   ∴ 为中点，又为中点。

      ∴∥                              （5分） 

      又 , ∴∥（7分）

 ⑵ ∵为菱形，   ∴,              （9分）

   又∵，  ∴   （12分）

   又     ∴ 又

         ∴             （14分）

16[解]：解：⑴ ∵ ， ∴  ，∴ （1分）

       又                         （3分）

        ∴

        ∴ 。                        （6分）

        ⑵， （8分）

        ∵，∴， 。

        ∴                （10分）

             （13分）

          （当 即 时取“”）   

所以的最大值为,相应的    (14分)

17．解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，

        ∴直线方程为     （4分）

        ⑵设圆心，则由在上得：

                             ①      

        又直径,,

又         

∴            ②       （7分）

由①②解得或

∴圆心 或                  

∴圆的方程为  或  （9分）                         

 ⑶  ，∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 。                   （12分）

 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且    

∴圆上共有两个点使 △的面积为  .  （14分）

18[解] (1)乙方的实际年利润为：  ．   (5分)

，

当时，取得最大值．

　　    所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)．…………………8分

　(2)设甲方净收入为元，则．

　将代入上式，得：．   (13分)

　　　　又

　　　　令，得．

　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．

　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　 (16分)

19. 解：⑴ 由 得 ，令 得  （2分）

   ∴所求距离的最小值即为到直线的距离（4分）

                      （7分）

   ⑵假设存在正数，令 则（9分）

   由得：  

   ∵当时， ，∴为减函数；

   当时，，∴ 为增函数.

   ∴         （14分）

∴   ∴

∴的取值范围为        （16分）

20. 解：⑴由条件得：  ∴  （3分）

     ∵ ∴ ∴为等比数列∴（6分）

      ⑵由   得            （8分）

     又   ∴                    （9分）

 ⑶∵

（或由即）

∴为递增数列。                              （11分）

∴从而       （14分）

∴

                            （16分）

附加题答案

21.         (8分)

22. 解：⑴①当时，

       ∴                                                      （2分）

        ②当时，

       ∴                                                 （4分）

        ③当时，

       ∴                                                （6分）

       综上该不等式解集为                                   (8分)

23. （1）；       (6分)

（2）AB=              (12分)

24. 解： ⑴设为轨迹上任一点，则

                                             （4分）

       化简得：   为求。                                （6分）

       ⑵设，，

         ∵  ∴                        （8分）

         ∴ 或 为求                                   （12分）