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一、填空题：（每小题５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答题：（共９０分）

15、（本小题满分14分）

解： （Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

………………………………3分

所以低于50分的人数为（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：

              ……………………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）当时，    ………………………………3分

当时，是增函数，

所以函数的单调递增区间为.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因为 ，所以当时，取最小值3，即
当时，取最大值4，即
将代入（1）式得.        ………………………………14分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：侧面，

侧面，，

………3分

在中，，

则有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

（Ⅱ）证明：连、，连交于，

，，四边形是平行四边形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

18．（本小题满分1６分）

解：（I）为圆周的点到直线的距离为

设的方程为的方程为…5分

（II）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或                     ………………………………7分

当时，所求椭圆方程为；当时，

所求椭圆方程为                      ………………………………1１分

（III）设切点为N，则由题意得，在中，，则，

N点的坐标为，……………………1２分

若椭圆为其焦点F₁,F₂

分别为点A,B故，

若椭圆为，其焦点为,

此时　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小题满分1６分）

解：（1）为等差数列，∵，又，

∴ ，是方程的两个根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差数列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，时取等号 … 13分

，时取等号15分

(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以 ………………… 16分

20. (本小题满分16分)

解（I）由题意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数。…………       4分

（II）

欲证：只需证：，即证：

记

∴

∴当x>1时，为增函数……………………………….9分

即

∴结论成立          ………………………………………………………………10分

（III）由 （1）知：

∴对应表达式为

∴问题转化成求函数

即求方程：

即：

设

∴当时，为减函数.

当时，为增函数.

而的图象开口向下的抛物线

∴与的大致图象如图：

∴与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个. …………………………………16分

江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试

数学试卷

Ⅱ卷（加试题部分）参考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圆在的作用下的新曲线的方程为 ……10分

2．已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？

解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为

极轴建立极坐标系（如图）

这里:a=3,c=,

………………………2分

所以椭圆的极坐标方程为：

………………………４分

设M点的极坐标为，N点的极坐标为，………………５分

解法二：设椭圆的方程为，其左焦点为，直线MN的参数方程为：

，           ………………４分

将此参数方程代人椭圆方程并整理得：

，设M、N对应的参数分别为，则

2解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．………………5分

（2），，设平面ABE的法向量为，

则由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为n₂＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

　      则　　………………………………………………２分

（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５

 　………５分

所以随机变量的概率分布为：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的数学期望为Ｅ＝＋＋＋