过作直线交圆于两点，则中点的轨迹方程是___________．

设为直角坐标系内轴正方向的单位向量，，且。

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点做直线交轨迹于两点，设，当四边形为矩形时，求出直线的方程.

在极坐标系中，若过且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则．

（08年沈阳二中四模文）  已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足,。

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹；

（Ⅱ）过定点作直线交轨迹于两点，试问在轴上是否存在一点，使得成立；

（08年沈阳二中四模理）（14分）已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足,。

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹；

（Ⅱ）过定点作直线交轨迹于两点，是点关于坐标原点的对称点，求证：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出的方程；若不存在，请说明理由。