我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边的系数为，

而右边， 的系数为，

由恒成立，可得．

利用上述方法，化简      ．

 

已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足,．数列满足,，为数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

【解析】第一问利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又时，满足，

，

第二问，①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等号在n=2时取得．

此时 需满足．  

②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是随n的增大而增大， n=1时取得最小值-6．

此时 需满足．

第三问，

     若成等比数列，则，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又时，满足，

，

．

（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等号在n=2时取得．

此时 需满足．  

②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是随n的增大而增大， n=1时取得最小值-6．

此时 需满足．

综合①、②可得的取值范围是．

（3），

     若成等比数列，则，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此时n=12．

因此，当且仅当m=2， n=12时，数列中的成等比数列

 

设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.

（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

【解析】(1)解：设点P的坐标为.由题意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以椭圆的离心率

（2）证明：（方法一）

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由条件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由P在椭圆上，有

因为，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

有一箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，则下列哪一个选项是此游戏的奖金期望值？
（1）70 元  （2）75 元  （3）80 元  （4）85 元  （5）90 元．

如右图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分茎叶

图，由图可得甲、乙两名运动员成绩更稳定的是_________