图中的曲线叫雪花曲线(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)将正三角形图(1)的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图(2)；

(2)将图(2)的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图(3)；

(3)再按上述方法继续做下去，就可以得到图(4)所示的曲线．

将图(1)、(2)、(3)…中的图形依次记作M₁、M₂、M₃、…．

思考1：请分别说出M₁、M₂、M₃的边数，想一想、如何得到M₄的边数？

思考2：如果知道了M_n－1的边数，我们能否知道M_n的边数？

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

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一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）

1．    2．第四象限    3． 。   4．  0

5．     6． 必要不充分     7． 2      8．     9． 1

10． 6    11．①⑤    12． 2 

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

13．B   14．D   15．C   16．D

三、解答题（本大题满分74，共5小题）

17．解：（1）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF//PB，

    所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角；

                                   ……………3分

    ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，

所以异面直线AE和PB所成角的大小为   ………………8分

   （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为  …………10分

       …………12分

18．（本题满分14分）

    解：由行列式得：  …………3分

    由正、余弦定理得：  …………6分

        ………………9分

    又    ………………12分

      ……………………14分

19．（本题满分14分）

    解：设二次函数

    ，

    二次函数

    又∵m、n为正整数，  …………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）

    解：（1）；  ………………2分

    ；   ………………4分

       ………………6分

   （2）当由的小等边三角形，

    共有个。

     …………10分

      …………12分

   （3）都是等比数列，且是单调递增的数列；

    极限不存在；极限存在，   ………………14分

    雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形。  ………………16分

   （第3小题酌情给分）

21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

    解：（1）； ………………2分

    联立方程； …………3分

    与椭圆M相交。 …………4分

   （2）联立方程组

    消去

   （3）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线

    的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分

    证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

    命题得证。

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

   （4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点F₁、F₂到直线距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：

………………20分

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

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