已知函数．

（1）求在区间上的最大值；

（2）若函数在区间上存在递减区间，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的最值。第一问中，利用导数求解函数的最值，首先求解导数，然后利用极值和端点值比较大小，得到结论。第二问中，我们利用函数在上存在递减区间，即在上有解，即，即可，可得到。

解：（1）， 

令，解得                 ……………3分

，在上为增函数，在上为减函数，

．          …………6分

（2）

在上存在递减区间，在上有解，……9分

在上有解， ，

所以，实数的取值范围为  

设函数．

（I）求的单调区间；

（II）当0<a<2时，求函数在区间上的最小值．

【解析】第一问定义域为真数大于零，得到．．                            

令，则，所以或，得到结论。

第二问中， （）．

．                          

因为0<a<2，所以，．令 可得．

对参数讨论的得到最值。

所以函数在上为减函数，在上为增函数．

（I）定义域为．           ………………………1分

．                            

令，则，所以或．  ……………………3分          

因为定义域为，所以．                            

令，则，所以．

因为定义域为，所以．          ………………………5分

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．                         ………………………7分

（II） （）．

．                          

因为0<a<2，所以，．令 可得．…………9分

所以函数在上为减函数，在上为增函数．

①当，即时，            

在区间上，在上为减函数，在上为增函数．

所以．         ………………………10分  

②当，即时，在区间上为减函数．

所以．               

综上所述，当时，；

当时，

任何一个自然数N都可以写成的形式，这里的或1，这时就叫做N的二进制数。如，所以43的二进制数为101011。仅含两个1的二进制数中数值最小的四个数是3、5、6、9，它们的二进制数分别是11、101、110、1001。若将只含两个1的所有二进制数按从小到大的顺序排列，设得到的数列为。

（1）若的十进制数N的值小于2050时，数列最多有多少项？为什么？

（2）求数列的第100项及对应的N的值。

(本小题满分12分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）

(I)从这9天的数据中任取2天的数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(II) 以这9天的PM2.   5日均值来估计供暖期间的空气质量情况，则供暖期间(按150天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.

(本小题满分12分）
PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）

(I)从这9天的数据中任取2天的数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(II) 以这9天的PM2.   5日均值来估计供暖期间的空气质量情况，则供暖期间(按150天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.