从4名男生,3名女生中选出三名代表。

(1)不同的选法共有多少种?

(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?

(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?

【解析】本试题主要考查了排列组合的运用，第一问中利用从7名学生中选出三名代表，共有选法 种；第二问中，至少有一名女生的不同选法共有 种第三问中，可以运用间接法得到男、女生都要有的不同的选法共有 种。

 

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a_n，如排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式；
（Ⅱ）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，证明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

现有m（m≥2）个不同的数P₁、P₂、P₃、…、P_n．将他们按一定顺序排列成一列．对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序数为a_n．如排列2、1的逆序数a₁=1，排列3、2、1的逆序数a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，证明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．