已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

（本大题18分）

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求数列的通项a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，则有x=3x+2，所以x= –1，故原递推式a_n=3a_n–1+2可转化为：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列。

根据上述材料所给出提示，解答下列问题：

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；

（2）若记S_n=，求S_n;

（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n。

（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）

   设函数，数列满足．

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．

（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）

　 设函数，数列满足．

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．

（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

       设函数,数列满足，（∈N*，且≥2）。

   （1）求数列的通项公式；

   （2）设，若≥对∈N*恒成立，求实数的取值范围；

   （3）是否存在以为首项，公比为（）的数列，，使得数列中的每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。