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    21． 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠.使点C与A重合.点D落到D′ 处.折痕为EF．(1)求证:△ABE≌△AD′F,(2)连接CF.判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可）
    （1）解方程：x2+3x-2=0；
    （2）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中建立直角坐标系，△ABC各顶点的坐标为：A（-5，4）、B（-1，1）、C（-5，1）．
    ①将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；
    ②写出A′点的坐标．

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    加试题（本小题满分20分，其中（1）、（2）、（3）题各3分，（4）题11分）
    （1）一个正数的平方根为3-a和2a+3，则这个正数是
    81
    81

    （2）若x2+2x+y2-6y+10=0，则xy=
    -1
    -1

    （3）已知a，b分别是6-
    		13
    的整数部分和小数部分，则2a-b=
    		13
    		13

    （4）阅读下面的问题，并解答问题：
    1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数是多少？（请在下列横线上填上合适的答案）
    分析：由于PA，PB，PC不在同一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时可以利用旋转的特征等知识得到：
      ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
      ②AP=AP′，且∠PAP′=
    60
    60
    度，所以△APP′为
    等边
    等边
    三角形，则∠AP′P=
    60
    60
    度；
      ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C为
    直角
    直角
    三角形，则∠PP′C=
    90
    90
    度，从而得到∠APB=
    150
    150
    度．
     2）请你利用第1）题的解答方法，完成下面问题：
    如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为边BC上的点，且∠EAF=45°，试说明：EF2=BE2+FC2．

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    (本小题满分8分)

       某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD。已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

       1.(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；

       2.(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为和，且到AB、BC、AD的距离与到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，清说明理由．

     

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    (本小题满分12分)

       如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线

    经过A、B、C三点。

       1.(1)求此抛物线的函数表达式；

       2.(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

       3.(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

     

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    (本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

    (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

    (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．

    求证：S1∶S2＝1∶3；

    (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

     

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    说明：

    1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．

    2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

    3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．

    4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

    一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    答案

    D

    B

    A

    C

    D

    A

    C

    二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

    题号

    8

    9

    10

    11

    答案

    1

    甲

    题号

    12

    13

    14

    答案

    16

    （8，3）

    4

    32

     

    三、作图题（本题满分6分）

    15．⑴ 正确作出图形，并做答．                     …………………………3′

    ⑵ 132 ．                                     …………………………6′

    四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）

    16．（本小题满分6分）

    ①

    ②

    ①×3，得 6x＋3y＝15．   ③

    ②＋③，得　7x＝21，

    　x＝3．                       …………………………3′

    把x＝3代入①，得2×3＋y＝5，

                       y＝－1．

    ∴原方程组的解是                 ………………………………6′

    17．（本小题满分6分）

    解：⑴ 正确补全频数分布直方图；            ………………………………2′

    ⑵ 样本的中位数在155~160cm的范围内； ………………………………4′

    ⑶ 八年级．                            ………………………………6′

    18．（本小题满分6分）

    解：⑴  （元）；  …………………………4′

    ⑵  ∵11.875元＞10元，  

            ∴选择转转盘．                       ……………………………6′

    （如果学生选择直接获得购物券，只要回答合理即可同样得分）

    19．（本小题满分6分）

    解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．

    设BD＝x海里，

    在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，

    ∴CD＝x ?tan63.5°．

    在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，

    ∴CD＝( 60＋x ) ?tan21.3°．                 ……………………………4′

    ∴x?tan63.5°＝(60＋x)?tan21.3°，即 ．

    解得，x＝15．

    答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近． …………………………6′

    20．（本小题满分8分）

    解：⑴ 设生产A种饮料x瓶，根据题意得：

     

     

     

    解这个不等式组，得20≤x≤40．

    因为其中正整数解共有21个，

    所以符合题意的生产方案有21种．       ……………………………4′

    ⑵ 根据题意，得　y＝2.6x＋2.8(100－x)．

    　整理，得　y＝－0.2x＋280．       ……………………………6′

    ∵k＝－0.2＜0，

    ∴y随x的增大而减小．

    ∴当x＝40时成本总额最低．                …………………………8′

    21．（本小题满分8分)

    证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE．

    ∵四边形ABCD是平行四边形，

    ∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．………2′

    ∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，

    ∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．

    ∴∠1＝∠3．

    ∴△ABE ≌△A D′F．   ……………4′

    ⑵ 四边形AECF是菱形．

    由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．

    ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

    ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．                 

    ∵AE＝EC，  ∴AF＝EC．

    又∵AF∥EC，                 

    ∴四边形AECF是平行四边形．

    ∵AF＝AE，

    ∴四边形AECF是菱形．                 ……………………………8′

    22．（本小题满分10分）

    解：⑴ y＝(x－50)∙ w

    ＝(x－50) ∙ (－2x＋240)

    ＝－2x2＋340x－12000，

    ∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000．   ……………………3′

    ⑵ y＝－2x2＋340x－12000

    ＝－2 (x－85) 2＋2450，

    ∴当x＝85时，y的值最大．                 ………………………6′

    ⑶ 当y＝2250时，可得方程　－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．

    解这个方程，得  x1＝75，x2＝95．            ………………………8′

    根据题意，x2＝95不合题意应舍去．

    ∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元． …………………10′　　　　　　　　　　　　　　　　

    23．（本小题满分10分）

    解：⑵ ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

    ∴S△ABP＝S△ABD ．

    又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

    ∴S△CDP＝S△CDA ．

    ∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP

    ＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA

    ＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)

    ＝S△DBC＋S△ABC ．

    ∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．                        ……………………………4′

    ⑶ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；              ……………………………5′

    ⑷ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；

    ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

    ∴S△ABP＝S△ABD ．

    又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

    ∴S△CDP＝S△CDA ．

    ∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP

    ＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA

    ＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)

    ＝S△DBC＋S△ABC ．

    ∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．             ……………………………8′

    问题解决： S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ．      ……………………………10′

    24．（本小题满分12分）

    解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．

    △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，

    ∴BP＝(3－t ) cm．

    △PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

    若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

    当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．

    即t＝(3－t )，

    t＝1 (秒)．

          当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．

    3－t＝t，

    t＝2 (秒)．

    答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．   …………………4′

    ⑵ 过P作PM⊥BC于M ．

    Rt△BPM中，sin∠B＝，

    ∴PM＝PB?sin∠B＝(3－t )．

    ∴S△PBQ＝BQ?PM＝? t ?(3－t )．

    ∴y＝S△ABC－S△PBQ

    ＝×32×－? t ?(3－t )

           ＝． 

    ∴y与t的关系式为： y＝．   …………………6′

    假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，

    则S四边形APQC＝S△ABC ．

    ∴＝××32×．

    ∴t 2－3 t＋3＝0．

    ∵(－3) 2－4×1×3＜0，

    ∴方程无解．

    ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′

    ⑶ 在Rt△PQM中，

    MQ＝＝．

    MQ 2＋PM 2＝PQ 2．

    ∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2

    ＝

            ＝＝3t2－9t＋9．         ……………………………10′

    ∴t2－3t＝．

    ∵y＝，

    ∴y＝＝＝．                  

    ∴y与x的关系式为：y＝．       ……………………………12′

     


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