如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

 

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，

则实数的值是（    ）

A．            B．           C．6             D．

 

设直线的方向向量是，平面的法向量是，则下列推理中

①            ②

③            ④

中正确的命题序号是               ．

 

已知空间三点A（1，3，2），B（1，2，1），C（-1，2，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的为（ ）
A．（-1，-2，5）
B．（1，3，2）
C．（1，1，1）
D．（-1，1，-1）