若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x²，x∈[1，2]与函数y=x²，x∈[-2，-1]即为“同族函数”．下面函数中，解析式能够被用来构造“同族函数”的有 （填入函数对应的序号）
①y=x²-2x+3；   ②y=x³；   ③y=log₂x；   ④y=

ex+e-x

2

；   ⑤y=|2^x-1|

（2011•上海模拟）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即
f（m）=n．

对于这个函数y=f（x），有下列命题：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的图象关于(

1

2

，0)对称；  ③若f(x)=

3

，则x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上单调递增．
其中正确的命题个数是（　　）

我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：．
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x₁∈[10，100]，令

g(x1)+g(x2)

2

=

3

2

，即

lgx1+lgx2

2

=

3

2

，
得x2=

1000

x1

．∵x₁∈[10，100]，∴x2=

1000

x1

∈[10，100]．即对任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=

1000

x1

∈[10，100]，使得

g(x)+g(x2)

2

=

3

2

．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．

下列说法中所有正确命题的序号是．
①函数y=sin（2x-

π

3

）的周期为π，且图象关于直线x=

π

3

对称；
②设ω＞0，将函数f（x）=sin（ωx+3）+1的图象向左平移

2π

3

个单位后与原图象重合，则ω 的最小值是2；
③在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的即不充分也不必要条件；
④函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一个对称中心是（

π

2

，0）；
⑤如果函数y=sin x+acosx的图象关于直线x=-

π

6

 对称，则a=1．