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将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角（如图），E，F分别是AD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）在AC上是否存在点G使DF∥平面BEG？若存在，求AG：GC；若不存在，说明理由．

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1.C  2.A  3.C  4.B  5.D  6.C  7.C  8.B  9.A  10.B  11.D  12.A

13.      14.arccos      15.B     16.①②③

17.解：解：（1）连结BD交AC于O，

∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，

∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C，………6分

∴EF⊥平面GMC．

（2）可证BD∥平面EFG，，正方形中心O到平面EFG

………12分

  18． 解：（1）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．            ………………2分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．     ……5分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 6分

（2）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．   ………8分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，

∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．  …… 10分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．……   12分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．         ……8分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……10分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB．   ……… 12分

19.解  （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，

得BD²=AD²+AB²-2AD?ABcos60° =4+16-2×2×4×=12。∴AB²=AD²+BD²，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。………3分

在△PDB中，PD=，PB=，BD=，

∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD。

又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。………6分

（2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD。………8分

作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，

∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，

∴PE=PDsin60°=?=。………10分

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P―BC―A的平面角。

又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，

tan∠PFE===。

故二面角P―BC―A的大小为arctan。………12分

20.解  （1）∵D′―AE―B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE。

作D′O⊥AE于O，连 OB，

∴D′O⊥平面ABCE。            

∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角。

∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°

∴O是AE的中点，

AO=OE=D′O=a, ∠D′AE=∠BAO=45°。………2分

∴在△OAB中，OB=

=

=a。

∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO==。………4分

（2）连结BE∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。

∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，………6分

∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。………8分

(3)C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半即BE=a………12分

       21．解  （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。

故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。………3分

（2）如图7-14，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，

∴EN∥CD∥AB  ∴AMNE是平行四边形   ∴MN∥AE。

在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线。   ∴AE⊥PD。

又CD⊥AD，CD⊥PD  ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，

又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。  ∴MN⊥平面PCD。………7分

（3）∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角。

由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)。∴tan∠PCB==。

又∵∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。

又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（，），

即异面直线PC，AD所成的角的范围为（，）。………12分

22.（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．………6分

（2）解：设，为上任意一点，连接．

由（1）知平面，

则为与平面所成的角．

在中，，

所以当最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此．又，所以，

所以．因为平面，平面，

所以平面平面．

过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，在中，，

即所求二面角的余弦值为．………14分

本题也可以用向量法解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

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