由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意n?N^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=

px+1

x+1

确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记

n

1 x1 + 1 x2 +… 1 xn

为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=

2

an+1

-1，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求

lim

n→∞

=

Hn

n

；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和Tn=

1

2

(Cn+

n

Cn

)．求T_n表达式．

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an-1

}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（

9

10

）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m均有|b_n-b_m|＜

3

5

．

已知函数f（x）=5x-5x²，记函数f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察区间A=（-∞，0），对任意实数x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2时，f_n（x）＜0，问：是否还有其它区间，对于该区间的任意实数x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？