题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分16分)已知
（I）如果函数
的单调递减区间为
，求函数的解析式；
（II）在(Ⅰ)的条件下,求函数
的图像在点
处的切线方程；
（III）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
（本小题满分16分）
某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工
人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10％，那么公司裁员人数应在什么范围内？
（2）若
15<
<50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人?
(20) （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。
（本小题满分16分）已知
个正数排成一个n行n列的数阵：
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 
… 
第2行 
… 
第3行 
… 
…
第n行 
… 
其中
表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a2,3=8，a3,4=20.
（1）求； （2）设
能被3整除.
（本小题满分16分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t,需矿石4 t,煤3 t；生产乙种产品1t,需矿石5 t,煤10 t.每1 t甲种产品的利润是16万元，每1 t乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过20 t,煤不超过30 t,则甲、乙两种产品应各生产多少，才能使利润总额达到最大？最大利润是多少？
一、填空题
1． 
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
；
7．
； 8．3； 9．
． 10．
11．
； 12．
； 13．
； 14．
．
二、解答题
15．解：（1）由
得：
，
由正弦定理知: 
，
（2）
，
由余弦定理知：
16．解：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
因为
是正三角形，
所以
又
是正三棱柱，
所以
面
，所以
所以有
面
因为
面
所以
；
（Ⅱ）
为
的三等分点，
．
连结
，
，
∵ 
，∴ 
．
∴ 
， ∴ 
又∵
面
，
面
∴ 
平面
17．解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得
又由
知
，
所以
（Ⅱ） 当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上．
当
且
时，由
，得
．
又
，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF
，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
（Ⅲ） C上存在点M（
）使S=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=；
当
时，不存在满足条件的点M．
当时，
，
由
，
，
，得
18．解：（1）
（或
）（
）
（2）
当且仅当
，即V=
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．
（3）解法1：由题意得不等式：
当保护罩为正四棱锥形状时，
，代入整理得：
，解得
；
当保护罩为正四棱柱形状时，
，代入整理得：
，解得
又底面正方形面积最小不得少于
，所以，底面正方形的面积最小可取
解法2. 解方程
，即
得两个根为
由于函数
在
上递减，在
上递增，所以当
时，总费用超过8000元，所以V取得最小值
由于保护罩的高固定为
．所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，
m2
又底面正方形面积最小不得少于，
，所以，底面正方形的面积最小可取
19．解：（Ⅰ）
令
得
当
为增函数；
当
为减函数，
可知
有极大值为
（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，
，
（Ⅲ）
，由上可知
在
上单调递增，
①，
同理
②
两式相加得
20．解：（1）证明：因为
所以
即
可化为:
当且仅当
即
时
故
（2）因为
=
=
又由
可知
=
即
=
解之得 
故得
所以
因此
的通项公式为..
（3）解：
所以
即S的最大值为
三、附加题
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．
21B．法一：特殊点法
在直线
上任取两点（2、1）和（3、3），…………1分
则
?
即得点
…………3 分
即得点
将
和
分别代入上得
则矩阵
…………6 分
则
…………10 分
法二：通法
设
为直线上任意一点其在M的作用下变为
…………1分
则
…………3分
代入得：
其与完全一样得
则矩阵
…………6分
则
…………10分
化为
， ………4分
，
………6分
设动点P
，M
，则 
， ………8分
又 
，得
；
………10分
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程化为，………………4分
设P
，M
，
，………6分
又MPO三点共线，
，
…………8分
转化为极坐标方程． ………10分
21D．证明： ∵a、b、c均为实数．
∴
（
＋
）≥
≥
，当a=b时等号成立；
（＋
）≥
≥
，当b=c时等号成立；
（＋）≥
≥
．
三个不等式相加即得++≥++，
当且仅当a=b=c时等号成立.
22．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
cos<
>
．
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是
．
（II）
，
，
设平面ABE的法向量为
，
则由
，
，得
取n＝（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），
．
由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－
．
23．解：
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列为：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为
，则此时1件产品的平均利润为
依题意，
，即
，解得
所以三等品率最多为
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