已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为(    )

A.                            B.3                              C.                       D.

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已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂,点P在椭圆上.若∠PF₁F₂=90°,则点P到x轴的距离为__________.

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一、选择题：本大题共12小题，每题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B    2．C   3．B   4．D   5．C   6．D   7．D  8．B   9．A   10．B   11．A   12．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．27    14．20    15．2    16．①④

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题共10分）

解：（I）

       故函数的周期为 ………………………………………….5分

（II）

     又

     函数的值域为_{………………….10分}

18．（本小题共12分）

    解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有5³种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.   ………………1分

    设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，

    则该事件共包括种不同的结果，   ………………3分

    所以    ………………5分

    答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为   ………………6分

   （II）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3  ………………7分

    随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

                                         ……………………12分

    解法2：每名志愿者在5月1日参加社区服务的概率均为……7分

    则三名志愿者在5月1日参加社区服务的人数 

       ………………11分

    随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

                                              ………………12分

19．（本小题共12分）

    方法1

   （I）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2

∴∠ADC=90°，且   ………………1分

取AB的中点E，连结CE.

由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，

又

则△ABC为等腰直角三角形，

所以AC⊥BC，   又因为PA⊥平面ABCD，则AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，

由三垂线定理得，BC⊥PC  ……………………4分

   （II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.

所以BC⊥平面PAC， ……………………4分

PC是PB在平面APC内的射影，所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角. ……5分

又，  ………………6分

   ………………7分

   ………………8分

   （III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，

所以平面PBC⊥平面PAC， 

过A点在平面PAC内作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，

则AF的长即为点A到平面PBC的距离.  ………………9分

在直角三角形PAC中，PA=2，AC=，   ………………10分

    ………………11分

所以   ………………12分

方法2：

∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°

∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 

∵PA=AD=DC=2，AB=4.

  ………………2分

   （I）

  ………………3分

   ………………4分

   （II）

设   ………………6分

即PB与平面PAC所成角的正弦值为   ………………8分

   （III）由

设   ………………10分

 =

∴点A到平面PBC的距离为   ………………12分

20．（本小题共12分）

解：（I）令，得（舍去负的），

        同理，令可得_{................................................4分}

 （II）

      _{…………………8分}

  （Ⅲ）令

        _{………………..12分}

21．（本小题共12分）

     解：（I）由

             当时，当时，，

             的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，）….6分

       （II）设

            则

            当时，在上是减函数；

            当时，在上是增函数。

            _{………………………………………………………..12分}

22．（本小题共12分）

    解：（I）如图，由题意得，

    ∴所求的椭圆方程为    ………………3分

   （II）由（I）知，   ………………4分

   （III）设

    若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，

    则恒成立.   ………………10分

    由（II）可知   ………………10分

    ∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点. …………12分

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