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    22．已知椭圆C: ,为其左右焦点,.为右顶点,为左准线,过的直线,与椭圆相交于P.Q两点. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，其左右焦点分别为F1、F2，A、B分别为椭圆的上、下顶点，如果四边形AF1BF2为边长为2的正方形．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为M，N，过点M作x轴的垂线l，在l上任取一点P，连接PN交椭圆C于Q，探究
    OP
    •
    OQ
    是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F1AB=90°．
    （1）求椭圆C的离心率e；
    （2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足
    RP
    =-2
    PF2
    ？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），且a，b，c成等比数列．
    （1）求椭圆的离心率e的值．
    （2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F1AB=90°．

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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
    		15
    2
    ，
    PF1
    •
    PF2
    =
    3
    4
    ，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点S（-
    6
    5
    ，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    ，F1、F2分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF1F2内一点G满足3
    PG
    =
    PF1
    +
    PF2
    ，其中
    OG
    =(
    1
    9
    a，
    		6
    9
    a)    ．
    （I）求椭圆C的离心率；
    （Ⅱ）若椭圆C短轴长为2
    		3
    ，过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若
    AF2
    =2
    F2B
    ，求△F1AB面积．

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    说明：

           一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.

           二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

           三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

           四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

    一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．

    1、A             2、A             3、C              4、C              5、A             6、C

    7、B              8、C              9、A             10、D            11、B            12、B

    二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算．

    13、2                   14、0                   15、2                       16、② ④

    三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

    17．本小题主要考查三角函数的符号，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力．满分12分

    解：（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0

    从而sin+cos＞0  ………………………………………………………… 3分

     ∴ =sin+cos===  …………6分

    （2）∵∴=-sinx+cosx=sin(x+)  ………………………… 8分

    ∴时，的单调递增区间为[，]，………………………………10分

    单调递减区间为[，2]．………………………………………… 12分

    18．本小题主要考查等差、比数列的概念，应用通项公式及求和公式进行计算的能力．

    满分12分

    解：（1）   ∴，

            所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，………4分

    ∴

            （2）由（1）得

                

    解法二：（1）同解法一

           （2） 由（1）得

             ∴……………8分，

             ∴，

             ∴， ……………10分

    =

    =，……………………………11分

                又. ………………………12分

    19．本小题主要考查直线和平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分

    解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A做AN垂直BC，

    垂足为N，易得BN=1，同时四边形ANCD是矩形，

    则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,．

    …………………………………………………………2分

    连结AM,

    因为平面ABCD，所以,又AD∥BC，

    所以SM AD。………4分

    （2）过点A做AG垂直SM，G为垂足，

    易证平面SAM,

    则，在RT中， 。………7分

    又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,

    点D到平面SBC的距离为………8分

    （3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB， F为垂足，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

    在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小为．………12分

    解法二：（1）同解法一．

    （2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

    有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

    所以，,．

    设平面SBC的法向量，则,

    即 ，

    解得，取．………6分

    又=，则点D到平面SBC的距离

    ．………8分

    （3）设平面ASB的法向量，则,

    即，

    解得，取．………10分

    ∴，则二面角A-SB-C的大小为．………12分

    20．本小题主要考查排列组合与概率的基础知识，考查推理、运算能力与分类讨论思想，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分12分

    解：（1）因为掷出1点的概率为，

    所以甲盒中有3个球的概率………………………4分

         （2）甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列有以下三种情况：

    ①甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2，

    此时的概率  ……………………………6分

    ②甲、乙、丙3个盒中的球数分别为1、1、1，

    此时的概率  ……………………………8分

    ③甲、乙、丙3个盒中的球数分别为2、1、0，

    此时的概率 ……………………………10分

    所以，甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列的概率…12分

    21．本小题主要考查函数的单调性、最值等基本知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法；考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力以及运算能力，满分12分．

    解（Ⅰ）

    上单调递增，在[－2，2]上单调递减，

    ，……2分

    ，

    …………………………4分

    又 

    ……………………………………………………6分

       （Ⅱ）已知条件等价于在……………………8分

    上为减函数，

    且……………………………………10分

    上为减函数，

     

    又………………………………………………12分

    22．本小题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，以及应用这些知识研究曲线几何特征

    基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

    解:（１）当时  ，，

    消去得:  ， ………2分

    此时ㄓ>0，

    设点坐标为 , 点坐标为 ，

    则有=  ，  3

    =   ，  4

    ，∴ ，代入3、4得

    消去得

    解得，

     则所求椭圆C的方程．……………………6分

     (２) 当2时，椭圆C的方程，………………７分

    设点坐标为 , 点坐标为，

    直线的方程为:，

    与的方程: 联立得: M点的纵坐标，

    同理可得: ，………………９分

    则=   

          …10分

         ，

    此时ㄓ>0，由 =   ，=   ，

    =   ，=   ，……………… 12分

    则，

     ……………………13分

    （当时取等号），

    ∴的最小值为6. ……………………14分

     


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