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过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径．如图，已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B作准线的垂线，垂足分别为A₁、B₁．
（1）求出抛物线的通径，证明x₁x₂和y₁y₂都是定值，并求出这个定值；
（2）证明：A₁F⊥B₁F．

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过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（如图所示），交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则此抛物线的方程为（　　）

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过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B交其准线于点C，若|BC|=2|BF|且|AF|=3，则P=（　　）

A． 3 4

B． 9 2

C． 9 4

D． 3 2

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一、选择题

1、B      

2、A    

3、D  ④少了“”这个条件，其余3个是正确的。

4、B      

5、C  取AC的中点O，则  四面体ABCD外接球的球心为O，半径为 

6、D  设

7、D  由题意知，P点的轨迹为抛物线，以AB的中点为原点，AB所在直线为轴或轴可得四个标准方程

8、A 

9、A  ，1，－1是方程的两根

10、C  若无最小值

当  有最小值等价于

有大于0的最小值，即

11、C      

  直线AB的斜率为1

当过C点的切线与AB平行时，面积取最大值设此直线方程为

  C到AB距离为

12、C  的整数解为

这8个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这8个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对,共有32条。

二、填空题

13、 

14、    取AD中点E，连  为菱形，且

在侧面

上的投影，为所求，

15、 0  

又为偶函数 

16、 ②④   ①错  ②对

 ③错 

 当且仅当取等号  ④对

三、解答题

17、（1）

  即时 有最大值

（2）

18、（1）该爱好者得2分的概率为

（2）答对题的个数为，得分为，的可能取值为0，2，4，8

的分布列为

0

2

4

8

P

的数学期望为

以D为原点，DA、DC、DP分别为轴建系如图，

则

19、（1）       

由  知为平面PAD的一个法向量

又    

（2） 

（3）由（1）知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为

令

 即二面角的余弦值为

20、（1）

 当   当

上单增

处取得极小值

的最大值为  最小值为

（2）由（1）知当

故对任意

只要对任意恒成立，即恒成立

记    

实数的取值范围是

21、（1）

  当

不是等比数列，当时， 数列是等比数列

且公比为2，

（2）由（1）知当

 1°

  2°

1°－2°及－

即

22、（1）设椭圆C的方程为

椭圆C的方程为

（2）由

  设与椭圆C交点为

将

①

则

消去得 

即    

  由①得

综上所述