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（2009•杭州二模）如图，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，…，BC为第n行，
记点A上的数为a_1，1，…，第I行中第j个数为ai，j(1≤j≤i)．若a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

则下列结论中正确的是

①④

①④

（把正确结论的序号都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=(

1

2

)2007-(

1

4

)2009
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答题：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由题意得周期，故…………………………………………4分

又图象过点，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）当时，

∴当时，即时，是减函数

当时，即时，是增函数

∴函数的单调减区间是，单调增区间是………………12分

17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，则，由于为的中点时，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）当时，过作于,如图所示，则底面,过作于,连结，则,为二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小为.…………………………………………………8分

(3)设到面的距离为，则,平面,

即为点到平面的距离，

又，

即解得，

即到平面的距离为.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则

（1）由得，

则，

，………………………………4分

（2）当时，点的坐标是

设平面的一个法向量，则即

取，则，

又平面的一个法向量为

又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分

（3）设到面的距离为，

则

到平面的距离为.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在点处的切线方程是…………………………………………2分

即，故与表示同一条直线，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

则或，所以函数的单调区间是，…………………………8分

故或或

或或，或或

实数的取值范围是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

则该切线的方程为：

由得

，

则都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）设

由于，故切线的方程是：，又由于点在上，则

则，

，同理

则直线的方程是，则直线过定点.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直线的距离最小，

而到直线的距离，当且仅当即时取等号.………………………………………………………………10分

设

由得，则

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由题意知即……1分

 …………3分

检验知时，结论也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，则有，则，

故，

取（其中表示不超过的最大整数），则当时，. ………………………………………………………14分