已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到上焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-2，0）作直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线m是过点，且以=（0，1）为方向向量的直线，设N是直线m上一动点，满足（O为坐标原点）．问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到上焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-2，0）作直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线m是过点，且以=（0，1）为方向向量的直线，设N是直线m上一动点，满足（O为坐标原点）．问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答题：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由题意得周期，故…………………………………………4分

又图象过点，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）当时，

∴当时，即时，是减函数

当时，即时，是增函数

∴函数的单调减区间是，单调增区间是………………12分

17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，则，由于为的中点时，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）当时，过作于,如图所示，则底面,过作于,连结，则,为二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小为.…………………………………………………8分

(3)设到面的距离为，则,平面,

即为点到平面的距离，

又，

即解得，

即到平面的距离为.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则

（1）由得，

则，

，………………………………4分

（2）当时，点的坐标是

设平面的一个法向量，则即

取，则，

又平面的一个法向量为

又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分

（3）设到面的距离为，

则

到平面的距离为.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在点处的切线方程是…………………………………………2分

即，故与表示同一条直线，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

则或，所以函数的单调区间是，…………………………8分

故或或

或或，或或

实数的取值范围是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

则该切线的方程为：

由得

，

则都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）设

由于，故切线的方程是：，又由于点在上，则

则，

，同理

则直线的方程是，则直线过定点.………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直线的距离最小，

而到直线的距离，当且仅当即时取等号.………………………………………………………………10分

设

由得，则

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由题意知即……1分

 …………3分

检验知时，结论也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，则有，则，

故，

取（其中表示不超过的最大整数），则当时，. ………………………………………………………14分