如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周长等于8

2

，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8

2

．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，探求k₁和k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）试问：..，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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如图，已知椭圆E：（a＞b＞0），焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，探求k₁和k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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一、填空题

1.           2.         3.156         4. -          5.

6．     7．        8．（理）   （文）       9．0

10．     11．（理）     （文）

二、选择题

12.C           13.B          14.(理)C   （文）B           15.B

三、解答题

16. 【解】（1）由已知：，   （2分）

即，      （4分）

∴，故。              （6分）

（2）由，得，     （8分）

∴，。                   （10分）

故。              （12分）

17.【解】

（理）设三次事件依次为，命中率分别为，

（1）令，则，∴，，。      （6分）

 （2）。      （13分）

（文）抛物线的准线是，          （3分）

双曲线的两条渐近线是。 （6分）

    三条线为成得三角形区域的顶点为，，，（10分）

当时，。              （13分）

18.【解】（1），。（4分）

   （2）令，，

，（8分）

即三位市民各获得140、100和110元折扣。（10分）

   （3）（元）。（16分）

19.【解】（1）直线的法向量，的方程：，

即为；…（2分）

直线的法向量，的方程：，

即为。 （4分）

（2）。   （6分）

设点的坐标为，由，得。（8分）

由椭圆的定义的知存在两个定点，使得恒为定值4。

此时两个定点为椭圆的两个焦点。（10分）

（3）设，，则，，

由，得。（12分）

；

当且仅当或时，取最小值。（14分）

，故与平行。（16分）

20.【解】（1）由，得。由，得第二行的公差，，∴。（2分）

由，，得，∴。（4分）

（2）；（6分）

。（10分）

（3），， 两式相减，得，。（12分）当时，。（13分）

①时，显然能被21整除；（14分）

②假设时，能被21整除，当时，

能被21整除。结论也成立。（17分）

由①、②可知，当是3的倍数时，能被21整除。（18分）