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一个圆环直径为m，通过铁丝BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圆上三等分点且BC长度大于0）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示。

（Ⅰ）设BC长为x（m），铁丝总长为y（m），试写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（Ⅱ）当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值。

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一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x₁、x₂，设O为坐标原点，点P的坐标为（x₁-3，x₂-3），记．
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

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由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：吨）与上市时间（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线表示，销售价格（单位：元／千克）与上市时间（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．
（1）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（2）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；
(3) 由（2），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．

                   

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一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答题

17、解：（Ⅰ）当时，有，又，所以 ……1分

当时，

           =

         所以，且当时，  ……3分

又，因此数列{}是以1为首项

且公差为2的等差数列，所以  ……2分

（Ⅱ）证明：（1）当时，，，关系成立 ……1分

 （2）假设当时，关系成立，即，则

   ……1分  那么

   ，即当时关系也成立

……3分  根据（1）和（2）知，关系式对任意N^*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，

，，  ……1分

设，则，，

即AM⊥BC，又因为，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因为，所以，得，

即，可得平面的一个法向量为=  ……3分

，设平面的一个法向量为，

则且，得，，令，得平面的一个法向量为=  ……3分设平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角为，

则  ……2分

19、解：（Ⅰ）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔数X的期望为：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直线的方程为，于是，

得，，，所以椭圆的方程为  ……2分

（Ⅱ）设，由方程组得，

      所以有，，且，即 ……2分

            ……2分

     因为，所以，又，所以是线段的中点，

     点的坐标为，即的坐标是，因此

     直线的方程为，得点的坐标为（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以当，即时，取得最大值，最大值为 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，则，为R上的单调递增函数；

若，的解为或，的解为，

此时在区间单调递增，在区间单调递减；

若，的解为或，的解为，

此时在区间单调递增，在区间单调递减……3分

（Ⅱ）当时，，，

因为，所以点（0，）不在曲线上，设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，所以有及

，得……2分 令，

则，

令，得，，，可得在区间单调递增，在区间单调递减，所以在时取极大值，

在时取极小值，在时取极大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如图，过点（0，）有且只有一条直线与曲线

相切等价于直线与曲线

有且只有一个交点，又当时，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因为D是弧的中点，由垂径定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因为点O为AB的中点，所以点E为

BC的中点，所以OE＝AC  ……2分

（Ⅱ）证明：连结CD，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因为D是弧的中点，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲线上的动点的坐标为（，），坐标原点（0，0），

     设P的坐标为（，），则由中点坐标公式得，，所以点P 的坐标为（，）……3分

      因此点的轨迹的参数方程为（为参数，且），

消去参数得点轨迹的直角坐标方程为 ……2分

（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系得直线的直角坐标方程为

  ……2分 又由（Ⅰ）知点的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，

因为原点（0，0）到直线的距离为

所以点到直线距离的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由题意得，即  得 ……2分

     因为 

所以的取值范围是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因为对于，由绝对值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范围是  ……2分