已知f（x）=x²+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e^x，φ（x）=

f(x)

g(x)

．
（I）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（II）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；
（III）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

（2013•泰安二模）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（x₁，y₁）是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率e=

1

2

（I）求椭圆E的标准方程；
（II）直线PF₁交椭圆E于另一点Q（x₁，y₂），椭圆右顶点为A，若

AP

•

AQ

=3，求直线PF₁的方程；
（III）过点M（

1

4

x1，0）作直线PF₁的垂线，垂足为N，当x₁变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

（2011•自贡三模）己知函数f（x）=

x-4

x+1

（x≠-1）的反函数是f^-1（x
），设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有{a_n}=

6f-1(Sn)-19

f-1(Sn)+1

成立，且b_n=f^-1（a_n）
（I）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式
（II）设数列{b_n}的前n项是否存在使得R_n≥4k成立？若存在，找出一个正整数k：若不存在，请说明理由_：
（III）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜

3

2

．