如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，学科网

（1）当时，求双曲线的方程；学科网                                                                                                                                                                    

（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．