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    21．选做题:本题有三个选答题.每题7分.请考生任选2题作答.满分14分.如果多做.则按所做的前两题记分. (I)选修4―2:短阵与变换 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    本题有（I）、（II）、（III）三个选作题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知a∈R，矩阵P=
    02
    -10
    ，Q=
    01
    a0
    ，若矩阵PQ对应的变换把直线l1：x-y+4=0变为直线l2：x+y+4=0，求实数a的值．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，求圆C：ρ=2上的点P到直线l：ρ(cosθ+
    		3
    sinθ)=6    的距离的最小值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知实数x，y满足x2+4y2=a（a＞0），且x+y的最大值为5，求实数a的值．

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    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    12
    34
    ．
    ①求矩阵A的逆矩阵B；
    ②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
    x=1+2cosα
    y=-1+2sinα
    （a为参数），点Q极坐标为（2，
    7
    4
    π）．
    （Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
    （Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    （I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
    （II）设x，y，z∈R，且
    x2
    16
    +
    y2
    5
    +
    z2
    4
    =1    ，求x+y+z的取值范围．

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    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    7-6
    4-3
    ，向量
    ξ 
    =
    6
    5
    ．
    （I）求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量
    ξ
    1    和
    ξ2
    ；
    （II）求M6
    ξ
    的值．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
    x=2cosα
    y=sinα
    (α为参数)    ．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
    （Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    （Ⅰ）已知：a、b、c∈R+，求证：a2+b2+c2≥
    1
    3
    (a+b+c)2    ；    
    （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．

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    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵，向量．
    (I)求矩阵的特征值、和特征向量；
    (II)求的值．
    （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
    （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
    （Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
    （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
    （Ⅰ）已知：a、b、；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   
    （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.

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    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

    （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

    已知矩阵，向量．

        (I)求矩阵的特征值、和特征向量；

    (II)求的值．

     

     

    （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

    （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；

    （Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

     

     

    （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

    （Ⅰ）已知：a、b、；www.7caiedu.cn   

    （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.

     

     

     

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    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

    1―5 DCCBD    6―10 ACBBB

    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

    11．1200    12．―3    13．e    14．2    15．16

    三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    16．（本小题满分13分）

    解：（I）由已知

       （II）

     

       （I）证明：（1）连接CD1

    ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形

    ∴A1D1//AD，AD//BC，A1D1=AD，AD=BC；

    ∴A1D1//BC，A1D1=BC，

    ∴四边形A1BCD1为平行四边形；∴A1B//D1C………3分

    ∵点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点；∴EF//D1C

    又∴EF//A1B

    又∵A1B平面A1DB，EF面A1DB；

    ∴EF⊥平面A1BD  ………………6分

       （II）连结AC交BD于点G，连接A1G，EG

    ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，

    底面ABCD是菱形

    ∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，

    AD=AB，BC=CD

    ∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，

    ∴A1G⊥BD，EG⊥BD

    ∴∠A1GE为直二面角A1―BD―E的平面角，

    ∴∠A1GE=90°………………3分

    在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，

    ∴∠ABC=120°，

    ∴AC=

    ∴AG=GC=  ………………10分

    在面ACC1A1中，△AGA1，△GCE为直角三角形

    ∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°，∴∠EGC=∠AA1G，

    ∴Rt△A1AG∽Rt△ECG ………………12分

    解法二：

       （I）证明：取AB的中点G，连接GD

    ∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2

    ∴△ABD是正三角形，∴DG⊥AB，DG=

    又∵AB//CD，∴DG⊥DC   …………2分

    ∵四棱柱ABCD―A1B1C1D1为直四棱柱，AA1//DD1

    A1A⊥底面ABCD，∴DD1⊥底面ABCD

    以D为坐标原点，射线DG为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，

    建立如图所示空间直角坐标系D―xyz.

    18．解：（I）掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：

       （上上上），（上上下），（上下上），（上下下），（下上上），（下上下），（下下上），（下下下）；

        其中甲得2分、乙得1分的有3种，故所求概率  …………3分

       （II）在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为1/2；情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为1/4。由加法公式，甲获胜的概率为1/2+1/4=3/4。   ………………8分

       （III）据题意，ξ的取值为3、4、5，

        且   ………………11分

       

        其分布列如下：

    ξ

    3

    4

    5

    P

    1/4

    3/8

    3/8

           ………………13分

    19．解：（I）∵F1，F2三等份BD， …………1分

           ………………3分

       （II）由（I）知为BF2的中点，

       

       （III）依题意直线AC的斜率存在，

     

        同理可求

       

       （III）法二：

       

    20．（I）解：

       （II）切线l与曲线有且只有一个公共点等价

    ①

    的唯一解；  ………………7分

    ②

     

     

    x

    （―1，0）

    0

    +

    0

    ―

    0

    +

    极大值0

    极小值

    ③

    x

    0

    +

    0

    ―

    0

    +

    极大值

    极小值0

       （III）

    21．（I）由已知BA=  ………………2分

    任取曲线

    则有=，即有  ………………5分

      ………………6分

    即   …………①   与   ………………②

    比较①②得

       （II）设圆C上的任意一点的极坐标，过OC的直径的另一端点为B，

    边PO，PB则在直角三角形OPB中， …………5分

    （写不扣分）

    从而有   ………………7分

       （III）证：为定值，

    利用柯西不等式得到

    ………5分

     


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