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如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点．(1，

2

2

)，离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．①证明：

1

k1

-

3

k2

=2；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

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已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面积；
（2）求证A'B'C'D'的面积不小于

1

2

．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????? 3分

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）设袋中有黑球n个，则每次取出的一个球是黑球的概率为，    3分

设“连续取两次，都是黑球”为事件A，∴，???????? 5分

∴，∴．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一个球，取到红球的概率是．???????? 7分

设“连续取4次球，取到红球恰为2次”为事件B，“连续取4次球，取到红球恰为3次”为事件C，

∴；?????????????????????? 8分

．???????????????????????? 10分

∴取到红球恰为2次或3次的概率为．

故连续取4次球，取到红球恰为2次或3次的概率等于.?????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁．???????????????????????????????? 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．∴．???????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）证明：时，，；?????????????? 1分

时，，所以，???????????? 2分

即数列是以2为首项，公差为2 的等差数列．????????????? 3分

∴，，???????????????????? 4分

当时，，当时，．???????? 5分

∴ ???????????????????????? 6分

（Ⅱ）当时，，结论成立．????????????? 7分

当时，?????? 8分

＝

????????????????????? 10分

．???????????????????????? 11分

综上所述：．????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比较系数得，，，．????????????????????????????????? 1分

∴，，，???????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函数有极大值，，极小值．????? 4分

∵函数在区间上存在极值，

∴或或???????????? 5分

解得或或．

故实数．??????????????????? 6分

（Ⅲ）函数的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：

（?）当函数的图象与x轴无交点时，必须有：

即??????????? 7分

而，函数的值域为，

∴解得．???????????????????? 8分

（?）当函数的图象与y轴无交点时，必须有：

即而有意义，    9分

∴即解得．??????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范围是，

故实数p的取值范围是．???????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）设，，，，

，，，，

．?????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．???????? 4分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，． ?????????????????? 5分

∴椭圆的方程为．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 7分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????? 8分

∴，

由，?????????????????? 9分

，．??????????????????????? 10分

．??????????? 11分

（或）．

设，则，，，

∴S关于u在区间单调递增，又，，???????? 13分

∴．???????????????????????????? 14