函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？

(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

已知函数满足f(2) = 0且方程f(x) = x有两个相等的实根。

（1）求f(x)的解析式：

（2）是否存在m、n∈R(m < n)，使f(x)的定义域为［m, n］且值域为［2m, 2n］？若存在，找出所有m , n；若不存在，请说明理由。

已知函数f(x)=3^-x-log₂x,正实数a,b,c成等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)<0,若公差d是方程f(x)=0的一个解，那么下列四个判断：①d<a;②d>b;③d<c;④d>c中可能成立的序号为     。