（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

：（，）下的不动点的存在情况和个数.

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

：（，）下的不动点的存在情况和个数.

（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分。

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。

若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？

如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：

（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分。

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。

若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？

如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：