P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，|F₁F₂|=2c，过P作直线l：的垂线，垂足为Q，若PQF₁F₂是平行四边形，则椭圆的离心率取值范围是_    ．

若 P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，

(1)若的中点为M，求证：；

(2)若，求之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标，

若不存在，请说明理由。

 

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=

1

2

，|F1F2|=2

3

．
（I）求椭圆C的方程．
（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

2

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

S2(x)

x+3

，求函数f（x）的最大值．