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设椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，点F₂到右准线为l的距离为
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，
证明：当|MN|取最小值时，．

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．        2．        3．0        4．充分而不必要        5．        6．2

7． 8．5         9．      10．1.5                11．

13．14．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

（1）== ……………………………………2分

== ……………………………………………………………………………………………4分

 ……………………………………………………………………………6分         

（2）==

==…………………………………………………………………………9分

由，得………………………………………………………………………10分

 ……………………………………………………………………12分

当, 即时, …………………………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

（1）在梯形中，，

四边形是等腰梯形，

且

…………………3分

又平面平面，交线为，

平面…………………………………………………6分

（2）当时，平面，………………………7分

在梯形中，设，连接，则…………………………………8分

，而，……………………………………………10分

，四边形是平行四边形，…………………………………………12分

又平面，平面平面…………………………………………14分

18．（本小题满分16分）

（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，

则其右准线方程为x＝，且F₁(－c, 0),　F₂(c, 0).　……………2分

设M，

则＝

.      ………………………4分

因为，所以，即.

    于是，故∠MON为锐角.

所以原点O在圆C外.                            ………………………7分

（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，             …………………8分

    于是M ，且    …………………9分

MN²＝(y₁－y₂)²＝y₁²+y₂²－2y₁y₂.  ………… 12分

当且仅当 y₁＝－y₂＝或y₂＝－y₁＝时取“=”号，   ……………… 14分

所以(MN)_min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，

故所求的椭圆方程是.            ………………… 16分

19．（本小题满分16分）

（1）函数的定义域为.…………………………………1分

由得;…………………………………………………………………………………………2分                    

由得,……………………………………………………………………………………3分

则增区间为,减区间为. ………………………………………………………………………4分

（2）令得,由(1)知在上递减,在上递增, …………6分

由,且,………………………………………………8分

时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. …………10分

（3）方程即.记,则

.由得;由得.

所以在上递减;在上递增.

而,……………………………………12分

所以,当时,方程无解;

当时，方程有一个解;

当时,方程有两个解;

当时,方程有一个解;

当时,方程无解. ………………………………………………………………………………14分

综上所述,时,方程无解;

或时,方程有唯一解;

时,方程有两个不等的解. ……………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

（1）因为第一行数组成的数列{A_1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，

所以A_{1 j}＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

第二行数组成的数列{A_2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，

所以A_{2 j}＝4+(j－1)×4＝4 j．              ……………………2分

所以A_{2 j}－A_{1 j}＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，

所以第j列数组成的数列{ A_ij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，

所以A_ij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3) (j＋2) 8．   …………5分

故A_ij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．

所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数   …………………6分

（2） (反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，

即                              ………………………7分

∵b_n＝A_nn ＝(n+2)²－4

∴

得，

即，   …………………10分

又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分

（3）假设存在满足条件的，那么

即.                         …………………… 14分

不妨令 得

所以存在使得成等差数列．         …………………… 16分

（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）