如图，A地到火车站共有两条路径L₁，L₂，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择L1的人数	6	12	18	12	12
选择L2的人数	0	4	16	16	4

（1）试估计40min内不能赶到火车站的概率
（2）现甲有40min时间赶往火车站，为尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他如何选路径．

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如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L₁和L₂所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。

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1.（1）因为，所以

      又是圆O的直径，所以

      又因为（弦切角等于同弧所对圆周角）

      所以所以

      又因为，所以相似

      所以，即

  （2）因为，所以，

       因为，所以

       由（1）知：。所以

       所以，即圆的直径

       又因为，即

     解得

2.依题设有：

 令，则

3.将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题

  点的直角坐标分别为

  故是以为斜边的等腰直角三角形，

  进而易知圆心为，半径为，圆的直角坐标方程为

      ，即

  将代入上述方程，得

  ，即

4.假设，因为，所以。

又由，则，

所以，这与题设矛盾

又若，这与矛盾

综上可知，必有成立

同理可证也成立

命题成立

5. 解：由a₁=S₁,k=.下面用数学归纳法进行证明.

1°.当n=1时，命题显然成立；

2°.假设当n=k(kN*)时，命题成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,

则n=k+1时，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）

=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）

即命题对n=k+1.成立

由1°, 2°，命题对任意的正整数n成立.

6.（1）因为，，

      ，所以

       故事件A与B不独立。

   （2）因为

       所以