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已知正四棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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一．选择题：CCBAB BBADA

解析：1：由映射概念可知可得.故选.

2：如图，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故选C。

3：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。

4：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。

5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故选B。

6：等差数列的前n项和S_n=n²+(a₁-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如图，由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时S_n最小，故选B。

7：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。

8：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。

9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。

10：，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。

二．填空题：11、；   12、；   13、；

14、；  15、；

解析：11：不等式等价于，也就是，所以，从而应填．

12： ，不论的值如何，与同号，所以

13：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。

14.解：由正弦定理得即，∴所求直线的极坐标方程为.

15.解：即，

三．解答题：

16．解：(Ⅰ)函数 要有意义需满足：即，解得，   …………………………………3分

函数要有意义需满足，即，

解得或  …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，………………………12分

17.解：（I）因为是等比数列，

       又…………………………………………2分

       ∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分

   （II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

                           ……………………………………………………………8分

       设的公比为则

       又

       是以1为首项，q为公比的等比数列，

       是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分

       即为1，a，q，aq，q²，aq²，…

       但当q≠a²时，不是等比数列

       故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

       另解：取a=2，q=1时，

       因此是等比数列，而不是等比数列.

       故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

18.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则---

所以得４０分的概率………………………………4分

(2) 该考生得20分的概率=……………………5分

该考生得25分的概率：

=  ……………………6分

该考生得30分的概率：==   --------------7分

该考生得35分的概率：

=            ……………………9分

∵　　∴该考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

（3）该考生所得分数的数学期望=

………………………………14分

19．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为--------------（1分）

∵圆C关于直线对称

∴点在直线上  -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

又∵圆心C在第二象限   ∴  -----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4     -----------------（5分）

∴所求圆C的方程为：  ------------------（6分）

  （Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：  -----------（7分）

        圆C:

圆心到切线的距离等于半径，

即                    

。                    ------------------（12分）

所求切线方程     ------------------（14分）

20．（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为

x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

      设平面的法向量为

     则由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量为（0，0，2）

故；

    ∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分

（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱台

     ∴V=V_正方体-V_棱台. ------------------14分

21．解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，则解得

所以，所求的区间为[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）取则，即不是上的减函数。

取，

即不是上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-------9分

（Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实数根，

即方程有两个不等的实根。

当时，有，解得。

当时，有，无解。

综上所述，---------------------------------------------14分