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A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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一．选择题：DCDDA  DDBBC

解析：1：复数i的一个辐角为90⁰，利用立方根的几何意义知，另两个立方根的辐角分别是90⁰+120⁰与90⁰+240⁰，即210⁰与330⁰，故虚部都小于0，答案为（D）。 

2：把x=3代入不等式组验算得x=3是不等式组的解，则排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式组验算得x=2是不等式组的解，则排除(D)，所以选(C).

3：在题设条件中的等式是关于与的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有，即，从而C被淘汰，故选D。

4：“对任意的x₁、x₂­，当时，”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“有意义”。事实上由于在时递减，从而由此得a的取值范围为。故选D。

5：由韦达定理知

.从而，故故选A。

6：当点A为切点时，所求的切线方程为，当A点不是切点时，所求的切线方程为故选D。

7：由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2， ∴V_F－ABCD＝?3²?2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）.

8：由二项展开式系数的性质有C＋C＋…＋C＋C＝2，选B.

9：取特殊数列=3，则==10，选(B).

10：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故选C。

二．填空题：11、； 12、；13、；14、，；15、，；

解析：11：因为（定值），于是，，，又，  故原式=。

12：因为正方形的面积是16，内切圆的面积是，所以豆子落入圆内的概率是．

13：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。

14.（略）

15.（略）

三．解答题：

16．解：（1）∵对任意，，∴--2分

    ∵不恒等于，∴--------------------------4分

   （2）设

①时，由  解得：

由  解得其反函数为  ，-----------------7分

②时，由  解得：

解得函数的反函数为，--------------------9分

∵

∴------------------------------------------------------------------12分

１7．解：（Ⅰ）依题意，有

，．

因此，的解析式为；      …………………6分

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以实数的取值范围是．    …………………12分

18.（I）因为侧面是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点，所以  …………………2分

又圆柱母线^平面， Ì平面，所以^，

又，所以^平面，

因为Ì平面，所以平面平面；…………………………………6分

（II）设圆柱的底面半径为，母线长度为，

当点是弧的中点时，三角形的面积为，

三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，

四棱锥的体积为，………………………………………10分

圆柱的体积为，                    ………………………………………………12分

四棱锥与圆柱的体积比为.……………………………………………14分

19.(Ⅰ)解：∵

        ∴

∴数列是首项为（），公比为2的等比数列，………………4分

，

，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得:

由此可猜想，即 …………………10分

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，等式左边＝1，右边＝,

当n＝1时，等式成立，

（2）假设当n＝k时，等式成立，即

当n＝k＋1时

∴当n＝k＋1时，等式成立，

综上所述，存在等差数列，使得对任意的有成立。              …………………14分

20.解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，  ……………2分

∵，∴，

又得    ∴      ………………4分

∴，∴所求椭圆C的方程为．  …………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为

则，,  由－4得－，

∴点P的轨迹方程为      …………………8分

设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，

解得：，…………………10分

∵点在椭圆上，

∴ ，

整理得解得或  …………………12分

∴点P的轨迹方程为或，经检验和都符合题设，

∴满足条件的点P的轨迹方程为或．…………………14分

21.解（1）         …………………1分

，

当时，函数有一个零点；

当时，，函数有两个零点。…………………3分

（2）令，则

 ，…………………5分

在内必有一个实根。即，使成立。…………………8分

（3）       假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且

∴     ………………10分

由②知对,都有

令得

由得，                          …………………12分

当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。

∴存在，使同时满足条件①、②。     …………………14分