设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

（Ⅰ）已知等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

 设等差数列的前项和为，

若．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，若，试比较与的大小．

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数)．

（1）当，，时，求；

（2）当，，时，

①若，，求数列的通项公式；

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.

如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有

，且．若存在，求数列的首项的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数)．
（1）当，，时，求；
（2）当，，时，
①若，，求数列的通项公式；
②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.
如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有
，且．若存在，求数列的首项的所
有取值构成的集合；若不存在，说明理由．