如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC₁A₁的位置关系，并加以证明．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足

.

A1P

=λ

.

A1B1

（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

(λ∈R)．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

A1P

=λ

A1B1

；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

BBDD  CABC  BCDB

二、填空题：本大题共4小 题，每小题4分，共16分。

13．8500

14．

15．

16．①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．解：（I）依题意，

       由正弦定理及   3分

          6分

   （II）由

       由（舍去负值）   8分

       从而，   9分

       由余弦定理，得

       代入数值，得

       解得   12分

18．解：（I）随意抽取4件产品进行检查是随机事件，而第一天有9件正品，

第一天通过检查的概率为错误！嵌入对象无效。    2分

第二天通过检查的概率为 错误！嵌入对象无效。   4分

因为第一天、第二天检查是否通过是相互独立的，

所以两天全部通过检查的概率为错误！嵌入对象无效。   6分

   （II）记所得奖金为元，则的取值为-300，300，900   7分

          10分

       （元）   12分

19．解：（I）如图，以AB，AC，AA₁分别为轴，建立空间直角坐标系

       则   2分

       从而

       所以   3分

   （II）平面ABC的一个法向量为

       则

       （※）   5分

       而

       由（※）式，当   6分

   （III）平面ABC的一个法向量为

       设平面PMN的一个法向量为

       由（I）得

       由   7分

       解得   9分

       平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

       解得   11分

       故点P在B₁A₁的延长线上，且   12分

20．（本小题满发12分）

       解：（I）由题设知   1分

       同时

       两式作差得

       所以

       可见，数列

          4分

   （II）   5分

           7分

   （III）

          9分

    ①当

       解得符合题意，此时不存在符合题意的M。   10分

       ②当

       解得此时存在的符合题意的M=8。   11分

       综上所述，当时，存在M=8符合题意   12分

21．解：（I）因为

       所以

       因为上是增函数。

       所以上恒成立     1分

       当

       而上的最小值是-1。

       于是（※）

    可见

       从而由（※）式即得   ①   4分

       同时，

       由

       解得②，

       或

       由①②得

       此时，即为所求    6分

       注：没有提到（验证）时，不扣分。

   （II）由（I），

       于是   7分

       以下证明（☆）

   （☆）等价于   8分

       构造函数

       则时，

       上为增函数。

       因此当

       即

       从而得到证明。    11分

       同理可证   12分

       注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。

22．（I）设得

       即    2分

       由

       则

       所以（※）   4分

       又因为

       则

       代入（※）式得

       可见，无关。    6分

   （II）如图，设

       由（I）知   7分

    又

       所以   8分

       将点A的坐标代入曲线C₁的方程得

       则  10分

       当且仅当“=”成立时，有   11分

       解得   14分