已知函数

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

 

已知函数.

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

 

已知函数.

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

 

已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=

lnx

x

，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（ II）当a=1时，对任意x₁，x₂∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+

17

27

（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；
（2）设Sn=

n

k=1

φ(1+

k

n

)，Tn=

n

k=1

φ(1+

k-1

n

)，n∈N*．
（i）求证：

Sn

n

＜ln2；
（ii）是否存在正整数n₀，使得当n＞n₀时，都有0＜

Sn+Tn

2n

-ln2＜

1

8040

成立？若存在，求出一个满足条件的
n₀的值；若不存在，请说明理由．