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    (Ⅱ)求函数在区间上的最值. 得 分评卷人 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数．

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

    【解析】第一问利用的定义域是     

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

    第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

    解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

                  ．．．．．．．．．．．．． 2分

    由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

    故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

    （II）若对任意不等式恒成立，

    问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

    由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

    故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

    当b<1时，；

    当时，；

    当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

    问题等价于 ．．．．．．．．11分

    解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是 

     

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    已知函数，.

    （Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；

    （Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数的最大值.

    【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。

    第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式 恒成立转化为，恒成立，分离参数法求解得到范围。

    解：（1）

    ①

    （2）不等式 ，即，即.

    转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

    即不等式在上恒成立.

    即不等式在上恒成立.

    设，则.

    设，则，因为，有.

    故在区间上是减函数。又

    故存在，使得.

    当时，有，当时，有.

    从而在区间上递增，在区间上递减.

    又[来源:]

    所以当时，恒有；当时，恒有；

    故使命题成立的正整数m的最大值为5

     

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    （本小题满分14分）
    设函数定义在上，，导函数
    （Ⅰ）求 的单调区间的最小值；（Ⅱ）讨论 与 的大小关系；（Ⅲ）是否存在，使得 对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由。

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    已知函数，．

    （Ⅰ）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；

    （Ⅱ）若方程有唯一解，求实数的值．

    【解析】第一问，   

    当0<x<2时，，当x>2时，，

    要使在(a,a+1)上递增，必须

    如使在(a,a+1)上递增，必须，即

    由上得出，当时，在上均为增函数

    （Ⅱ）中方程有唯一解有唯一解

    设  （x>0）

    随x变化如下表

    x

    -

    +

    极小值

    由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

    当m=-24-16ln2时，方程有唯一解得到结论。

    （Ⅰ）解： 

    当0<x<2时，，当x>2时，，

    要使在(a,a+1)上递增，必须

    如使在(a,a+1)上递增，必须，即

    由上得出，当时，在上均为增函数  ……………6分

    （Ⅱ）方程有唯一解有唯一解

    设  （x>0）

    随x变化如下表

    x

    -

    +

    极小值

    由于在上，只有一个极小值，的最小值为-24-16ln2，

    当m=-24-16ln2时，方程有唯一解

     

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    （本题满分14分）

       已知函数。

       （1）求的最大值及取得最大值时的的值；

       （2）求在上的单调增区间。

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    一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    B

    A

    B

    D

    C

    D

    C

    D

    二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分

    9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1

    三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。

    15. （本小题共13分）

    已知函数

    （Ⅰ）求函数的定义域；

    （Ⅱ）求函数在区间上的最值。

    解：（Ⅰ）由题意                 

    所求定义域为  {}                            …………4分

    （Ⅱ）

                               …………9分

    由   知   ，

    所以当时，取得最大值为；                   …………11分

    当时，取得最小值为0 。                   …………13分

    16. （本小题共13分）

    已知数列中，，点（1，0）在函数的图像上。

    （Ⅰ）求数列 的通项；

    （Ⅱ）设，求数列的前n项和。      

    解：(Ⅰ)由已知        又         …………3分

     所以 数列是公比为的等比数列      所以        …………6分

         （Ⅱ） 由                                …………9分

          所以                …………13分

    17. （本小题共14分）

    如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。

    （Ⅰ）求所成角的大小；        

    （Ⅱ）求二面角的正切值；

    (Ⅲ) 证明.

    解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

    又  是正△ABC边的中点，

                                   …………3分

    ∠为所成角

    又     sin∠=                      …………5分

    所以所成角为（）

    （Ⅱ） 由已知得 

       ∠为二面角的平面角，     所以     …………9分

    (Ⅲ)证明:  依题意  得   ，，

    因为                        …………11分

    又由（Ⅰ）中    知，且，

                                          …………14分

    18. （本小题共13分）

    某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，的学生选修过《几何证明选讲》，的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。

    (Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；

    (Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。

    解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，

    参加过《数学史》的选修为事件B， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P，

    则

    所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为                     …………6分

    (Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为

           

      所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为               …………13分

    19. （本小题共13分）

    已知函数的图像如图所示。

    (Ⅰ)求的值；

    (Ⅱ)若函数在处的切线方程为，求函数的        

    解析式；

    （Ⅲ）若=5，方程有三个不同的根，求实数的取值范围。

      解： 函数的导函数为  

    (Ⅰ)由图可知  函数的图像过点（0，3），且

      得                         …………3分

    (Ⅱ)依题意  且

             解得  

       所以                                 …………8分

    （Ⅲ）依题意

              由                                       ①

        若方程有三个不同的根，当且仅当 满足        ②

      由 ① ②  得   

       所以 当  时 ，方程有三个不同的根。     …………13分

    20. （本小题共14分）

           已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点M。

    (Ⅰ)求动点M的轨迹的方程；

    (Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝，若∈[2，3]，求的取值范围。

    解：(Ⅰ)设M，则，由中垂线的性质知

    ||=     化简得的方程为                  …………3分

    （另：由知曲线是以x轴为对称轴，以为焦点，以为准线的抛物线

        所以  ，         则动点M的轨迹的方程为）

    (Ⅱ)设，由＝  知        ①

    又由 在曲线上知                   ②

    由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

     ===  …………10分

    设 ，∈[2，3]， 有 在区间上是增函数，

    得       进而有      

    所以    的取值范围是                             …………14

     


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