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（本小题满分12分）
某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．
（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地人数的分布列和数学期望．

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                   高三数学试卷（理科）                 2009.4   

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

C

D

A

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.

9.      10. 10，243      11.    12.       13. 24    14.   

注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.

15.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A.    -----------------------------1分     

由题意，得事件A的概率，              

即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0,                           ----------------------------6分

每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.

； ；

 所以，的分布列为：

2

0

P

---------------------------10分

的数学期望.                       ---------------------------12分

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为.      ---------------------------1分

在中，|OB|=2，，

由正弦定理，得，即，

所以 .                               ---------------------------5分

注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， ------------------7分

因为，

所以，                             ----------------------------9分

又

，                                    ---------------------------11分

        所以.                      ---------------------------12分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

 解：由（Ⅰ）知，

又，

平面，                                      ---------------------------5分

如图，过C作于M，连接BM，

是BM在平面PCD内的射影，

，

又

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

.      ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小为.                       ---------------------------9分

  方法二：

       解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

       则,            ---------------------------5分

过C作于M，连接BM，设，

       则，

，

；           1       

共线，

，               2

由12，解得，

点的坐标为，，，

,

，

又，

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小为.                         --------------------------9分

（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，               

       ，，

       平面ABCD，，

       ，

       在直角梯形ABCD中，，

       .

       在中，，，

        ，

        ，

           的面积，                  ---------------------------10分

       三棱锥B-PAD的体积，

，                             ---------------------------12分

即，解得，

       点B到平面PAD的距离为.                          ---------------------------14分                       

18.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：函数的定义域为，                      ---------------------------1分

           .                                       ---------------------------4分

      因为，所以.                                ---------------------------5分

（Ⅱ）解：当时，因为，

              所以，故在上是减函数；        ------------------------7分

         当a=0时，当时，，故在上是减函数，

               当时，，故在上是减函数，

               因为函数在上连续，

               所以在上是减函数；                  ---------------------------9分

      当0<a<1时，由, 得x=，或x=. --------------------------10分

            x变化时，的变化如情况下表：

0

+

0

极小值

极大值

        所以在上为减函数、在上为减函数；在上为增函数.                                                ------------------------13分

 综上，当时，在上是减函数；

 当0<a<1时，在上为减函数、在上为减函数；在上为增函数.                                      ------------------------14分

19.（本小题满分14分）

   （Ⅰ）解：设A(x₁, y₁)，

因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，

所以，                                            ---------------------------1分

又因为点A(x₁, y₁)在椭圆C上

所以，即，解得，

则点A的坐标为或，                       -------------------------3分

所以直线l的方程为或.  --------------------------5分

   （Ⅱ）解：设直线AB的方程为或，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，，

当AB的方程为时，，与题意不符.        --------------------------6分

当AB的方程为时：

    由题设可得A、B的坐标是方程组的解，

    消去y得，

    所以即，                    

    则，

                                                       ---------------------------8分

    因为 ，

    所以，解得，

    所以.                                      --------------------------10分

因为，即，

    所以当时，由，得，

上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在；      --------------------11分

当时，，，

        因为点在椭圆上，

        所以，             -------------------------12分

        化简得，

        因为，所以，

        则.                           

综上，实数的取值范围为.             ---------------------------14分

20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列有两个，即：

（1）数列3，4，1，5，2；                           ---------------------------2分

（2）数列3，4，2，5，1.                            ---------------------------3分

         注：写出一个得2分，两个写全得3分.

（Ⅱ）答：存在数列，它的创新数列为等差数列.

解：设数列的创新数列为，

因为为中的最大值.

所以.

由题意知：为中最大值，为中最大值，

     所以，且.                       

若为等差数列，设其公差为d，则，且N，    -----------------5分

     当d=0时，为常数列，又，

           所以数列为，此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列；

      当d=1时，因为，

所以数列为，此时数列是；  --------------------7分

      当时，因为，

           又，所以，

这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为的等差数列.

综上，当数列为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；（2）数列时，它的创新数列为等差数列.