已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．

若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．
（1）若曲线C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲线C：y=x³-x（-1≤x≤2），求关于k的函数关系式d（k）．

（2009•越秀区模拟）已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（

2

，0），并且与定圆C：(x+

2

)2+y2=16（圆心为C）相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l经过圆x²+y²-2x-2y=0的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点．是否存在常数k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1的一个焦点为F(0，2

2

)，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量

AB

与向量

m

=(-1，

2

)共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．

已知点P为圆周x²+y²=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量

a

=(1，k)(k≠0)的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．