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某大学高等数学老师上学期分别采用了A，B两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如图：
（Ⅰ）从乙班这20名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率；
（Ⅱ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）
（Ⅲ）从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记ξ为这2人所得的总奖金，求ξ的分布列和数学期望．

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某班级共有50名学生，其中男同学30人，女同学20人．现按性别分层抽样，抽取10人成立一兴趣小组，该兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差x（°C）	10	11	13	12	8	6
就诊人数y（人）	22	25	29	26	16	12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取4组，用这4组数据求线性回归方程，用剩下的2组数据进行检验．
（1）若从兴趣小组中推选出2人担任正、副组长．记这2人中“是女生”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
（2）若选取的是2至5月份的4组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得到的线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=

n i=1 ( x   i - . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x．

）

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2009年4月

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．

1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．

11．                                    12．                                  13．

14．                                  15．①②⑤

三、解答题：本题共6小题，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列为

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 证明：取CE中点M，则 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF为平行四边形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：设B在平面AFE内的射影为，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE与平面AFE所成角为

∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF，得    ∴

而     ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由       由

∴ 上单调递减，在上单调递增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上递减     ∴ ??????????????? 9分

设    ∵    ∴上递减

∴  即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F（c，0），P（c，）

∵       ∴ D为线段FP的中点，

∴ D为（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2，则b = 1，B（0，?1）     双曲线的方程为   ①

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

设

整理得：

对满足的k恒成立

∴ ．

故存在y轴上的点C（0，4），使为常数17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切线方程为与y = kx联立得：

，令y = 0得：x_B = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

两边取倒数得：      ∴

∴ 是以为首项，为公比的等比数列（时）

或是各项为0的常数列（k = 3时），此时a_n = 1

时??????????????????????????????? 7分

当k = 3时也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

当?????????????????????????????????????????????????? 12分