函数是定义在上的奇函数，且。

（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；

（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；

（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值。（本小问不需要说明理由）

【解析】本试题主要考查了函数的解析式和奇偶性和单调性的综合运用。第一问中，利用函数是定义在上的奇函数，且。

解得，

（2）中，利用单调性的定义，作差变形判定可得单调递增函数。

（3）中，由2知，单调减区间为，并由此得到当，x=-1时，，当x=1时，

解：（1）是奇函数，。

即，，………………2分

，又，，，

（2）任取，且，

，………………6分

，

，，，，

在（-1，1）上是增函数。…………………………………………8分

（3）单调减区间为…………………………………………10分

当，x=-1时，，当x=1时，。

(08年莆田四中一模文)如果函数同时满足下列3个条件：①过点（0,1）和（-2，）；②在[0，+∞上递增；③随着x值的减小，的图象无限接近x轴，但与x轴不相交，那么的一个函数解析式可能是                （写出一个即可）。

设函数．

(Ⅰ) 当时，求的单调区间；

(Ⅱ) 若在上的最大值为，求的值．

【解析】第一问中利用函数的定义域为（0，2），.

当a=1时，所以的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；

第二问中，利用当时， >0, 即在上单调递增，故在上的最大值为f(1)=a 因此a=1/2.

解：函数的定义域为（0，2），.

（1）当时，所以的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；

（2）当时， >0, 即在上单调递增，故在上的最大值为f(1)=a 因此a=1/2.

已知

（1）求函数在上的最小值

（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围

（3）证明对一切，都有成立

【解析】第一问中利用

当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

第二问中，，则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立， 

第三问中问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

解：（1）当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

                 …………4分

（2），则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立，                                             …………9分

（3）问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

（15分）已知是数列的前项和，（，），且．

（1）求的值，并写出和的关系式；

（2）求数列的通项公式及的表达式；

（3）我们可以证明：若数列有上界（即存在常数，使得对一切 恒成立）且单调递增；或数列有下界（即存在常数，使得对一切恒成立）且单调递减，则存在．直接利用上述结论，证明：存在．