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    (1)令.求函数的极值, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    已知函数f(x)=
    (x2+ax+a)
    ex
    ，（a为常数，e为自然对数的底）．
    （1）令μ(x)=
    1
    ex
    ，a=0，求μ'（x）和f'（x）；
    （2）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
    [理]（3）在（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

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    已知函数f（x）=
    1
    3
    x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
    （1）求实数a的取值范围；
    （2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
    （3）设a=
    1
    2
    令g（x）=
    f′(x+1)
    x
    -3，x∈（0，+∞），求证：gn（x）-xn-
    1
    xn
    ≥2n-2（n∈N+）．

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    已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．
    （Ⅰ）若1和2是函数h（x）的两个极值点，求a，b的值；
    （Ⅱ）当a=
    12
    ，b≥2    时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的值．

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    已知函数f(x)=cos
    x
    4
    •cos(
    π
    2
    -
    x
    4
    )•cos(π-
    x
    2
    )
    （1）将函数f（x）的解析式化简；
    （2）若将函数f（x）在（0，+∞）的所有极值点从小到大排成一数列记为{an}，求数列{an}的通项公式；
    （3）在（2）的条件下，若令bn=
    1
    an•an+1
    ，求数列{bn}前n项和Tn．

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    三、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    D

    A

    B

    B

    D

    B

    D

    A

    B

    C

    B

    四、填空题

    13．2     14. 31    15.     16.  2.

    三、解答题

    17．17．解：（Ⅰ）．

    的最小正周期．

    （Ⅱ）由解得

    ∴ 的单调递增区间为。

    18．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且

    ，，

    故取出的4个球均为红球的概率是

    ．

    （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且

    ，．

    故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为

    ．

    19．（Ⅰ）取DC的中点E.

    ∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.

    ∵平面, BE平面，∴ BE.

    ∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. 

    ∵BE=，PE=,∴==.  

    （Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

    ∵平面, AO平面，

    ∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

    作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.

    故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

    ∵AO=，OF=，∴=.

    20．解：（1）令得所求增区间为，。

    （2）要使当时恒成立，只要当时 。

    由（1）知

    当时，是增函数，；

    当时，是减函数，；

    当时，是增函数，

    由，因此故。

    21. 证明：由是关于x的方程的两根得

    。

    ，

    是等差数列。

    （2）由（1）知

    。

    。

    又符合上式， 。

    （3） ①

      ②

    ①―②得 。

    。

    22． （1）∵

    ∴ 

    令，∴或

    若，

    在点附近，当时，；当时，

    ∴是函数的极小值点，极小值为；

    在点附近，当时，；当时，

    ∴是函数的极大值点，极大值为

    若，易知，

    是函数的极大值点，极大值为；

    是函数的极小值点，极小值为

    （2）若在上至少存在一点使得成立，

    则在上至少存在一解，即在上至少存在一解

    由（1）知，

    当时，函数在区间上递增，且极小值为

    ∴此时在上至少存在一解； 

    当时，函数在区间上递增，在上递减，

    ∴要满足条件应有函数的极大值，即

    综上，实数的取值范围为或。

     

     


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