题目列表(包括答案和解析)
已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（2）将(、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
·
，
. （1）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；
（2）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.
当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在c 该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.
，|w|=2|z|．已知复数z0=1－mi（M＞0），z=x＋yi和ω=x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω=
·
，|ω|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.
当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.
1、B
2、D
3、A
4、［解法一］设
而
又∵
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,
∴
,得
.
∴
. 即
;
,
当
时,有
,即
,得
.
当
时,同理可得
.
［解法二］
,∴
,
得
或
得
.
当时,有,即,得.
当时,同理可得.
5、解:由
由
得
故
当且仅当
时,即
时,上式取等号.
所以当
时,函数
取最大值
6、D
7、解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
8、B
9、解：设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
10、A
11、（1）
（2）
12、
，
或
13、解：（Ⅰ）由 
，
得
． ……4分
因为 
，
，
所以 
． ……6分
（Ⅱ）因为
，
所以 
，而
，所以
，
，同理
，
．
由（Ⅰ）知 
，
即 
，
所以 
的实部为
， ……8分
而
的辐角为
时，复数的实部为
，
所以 
……12分
14、C
15、[解]（1）由题设，
，
于是由
，
…（3分）
因此由
，
得关系式
…（5分）
[解]（2）设点
在直线
上，则其经变换后的点
满足
，
…（7分）
消去
，得
，
故点
的轨迹方程为
…（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为
，
…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴
，
即
，
当
时，方程组
无解，
故这样的直线不存在。 …（16分）
当
时，由
得
，
解得
或
，
故这样的直线存在，其方程为
或
，
…（18分）
[解法二]取直线上一点
，其经变换后的点
仍在该直线上，
∴
，
得
，
…（14分）
故所求直线为
，取直线上一点
，其经变换后得到的点
仍在该直线上。
∴
，
…（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或，
…（18分）
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