题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分15分）
已知函数
，其中
，
（
），若
相邻两对称轴间的距离不小于
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，
，当最大时，
，求的面积．
（本小题满分15分）
某旅游商品生产企业，2009年某商品生产的投入成本为1元/件，
出厂价为流程图的输出结果
元/件，年销售量为10000件，
因2010年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，
计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的
比例为
（
），则出厂价相应提高的比例为
，
同时预计销售量增加的比例为
．
已知得利润
（出厂价
投入成本）
年销售量．
（Ⅰ）写出2010年预计的年利润
与投入成本增加的比例的关系式；
（Ⅱ）为使2010年的年利润比2009年有所增加，
问：投入成本增加的比例应在什么范围内？
（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设
，把y表示成
的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为
的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
（本小题满分15分）已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足
，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm(m∈N*)的等比中项，求正整数m的值．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．
2．1 3．－2 4．
5． （1）（2）
6． 4 7．甲 8．
9．9 10．
11．－2
12．
13．2 14． 2
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15．（本小题满分14分）
解：（1）∵
∴
…………………………………………5分
（2）∵
∴
…………………………………………7分
……………………………………9分
或
或7
………………………………14分
16．（本小题满分14分）
(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，
EP∥A′A，又A′A
平面AA′B，EP
平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………5分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………9分
(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC …………………………………………14分
17．（本小题满分15分）
解：（1）取弦的中点为M，连结OM
由平面几何知识，OM=1
…………………………………………3分
解得：
，
………………………………………5分
∵直线过F、B ，∴
则
…………………………………………6分
（2）设弦的中点为M，连结OM
则
……………………………………9分
解得
…………………………………………11分
∴
…………………………………………15分
（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）
18．（本小题满分15分）
（1）延长BD、CE交于A，则AD=
，AE=2
则S△ADE= S△BDE= S△BCE=
∵S△APQ=，∴
∴
…………………………………………7分
（2）
=
?
…………………………………………12分
当
，
即
， 
…………………………………………15分
19．（本小题满分16分）
解（1）证：
由
得
在
上点
处的切线为
，即
又在
上点处切线可计算得，即
∴直线
与、都相切，且切于同一点（
） …………………5分
（2）
…………………7分
∴
在
上递增
∴当
时
……………10分
（3）
设上式为
，假设
取正实数，则
?
当
时，
，
递减；
当
，
，递增． ……………………………………12分
∴不存在正整数，使得
即
…………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）
，
，
对一切
恒成立
的最小值，又
，
…………………………………………4分
（2）
这5个数中成等比且公比的三数只能为
只能是
，
…………………………8分
，
显然成立
……………………………………12分
当
时，
，
使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3
……………………………………………16分
泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考
高三数学试题参考答案
附加题部分
21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）
A．解：(1)
∴
∴AB=CD ……………………………………4分
（2）由相交弦定理得
2×1=(3+OP)(3-OP)
∴
，∴
……………………………………10分
B．解：依题设有：
………………………………………4分
令
，则
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C．解：以有点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………3分
同理
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………6分
（2）由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为
． …………………………10分
D．证明：（1）因为
所以
…………………………………………4分
（2）∵
…………………………………………6分
同理，
，
……………………………………8分
三式相加即得
……………………………10分
22．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的
, 则其概率为
…………………………………………4分
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
（2）随机变量
……………………5分
…………………………6分
………………………………7分
∴随机变量
的分布列为
2
3
4
P
∴
…………………………10分
23．（必做题）（本小题满分10分）
（1）
，
，
，
，
……………………………………3分
（2）平面BDD1的一个法向量为
设平面BFC1的法向量为
∴
取
得平面BFC1的一个法向量
∴所求的余弦值为
……………………………………6分
（3）设
（
）
，由
得
即
，
当
时，
当
时，∴
……………………………………10分
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