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    答卷前将密封线内的项目填写清楚 题号一二三总分1-891011121314151617181920分数 得分评卷人 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，下面的表格内的数值填写规则如下：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写．
    第1列 第2列 第3列 … 第n列
    第1行 1 1 1 … 1
    第2行 q
    第3行 q2
    … …
    第n行 qn-1
    （1）设第2行的数依次为b1，b2，…，bn，试用n，q表示b1+b2+…+bn的值；
    （2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
    （3）能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

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    阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
    已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．

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    （2008•成都二模）（新华网）反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿--HGH（人体生长激素），有望在8月的北京奥运会上首次“伏法”．据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用．若组委会计划对参加某项田径比赛的120名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验
    方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m+1次化验．假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为
    110
    ．当m=3时，
    （1）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
    （2）设一个小组的检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

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    如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图．
    （1）将判断框内的条件补充完整；
    （2）请用直到型循环结构改写流程图．

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    组委会计划对参加某项田径比赛的12名运动员的血样进行突击检验，检查是否含有兴奋剂HGH成分．采用如下检测方法：将所有待检运动员分成4个小组，每组3个人，再把每个人的血样分成两份，化验室将每个小组内的3个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的3个人只需化验这一次就算合格；如果结果中含HGH成分，那么需对该组进行再次检验，即需要把这3个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这3个人一共进行了4次化验，假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为
    110
    ．
    （Ⅰ）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
    （Ⅱ）设一个小组检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望；
    （Ⅲ）至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率．（精确到0.01，参考数据：0.2713≈0.020，0.2714≈0.005，0.7292≈0.500）

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－

    注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15．（本小题满分13分）

    （Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1

    ＝2sin+1.  ……………………………………………5分

    因此f（x）的最小正周期为，最小值为－1．……………………………7分

    （Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分

    而由∈得2+∈．……………………………10分

    故2+＝．…………………………………………………………12分

    解得＝． ………………………………………………………………13分

    16．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为

    P＝×××＝． ………………………………………………5分

    （Ⅱ）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝×××＝；

    同样可求得得分为25分的概率为

                                       P（＝25）＝××××+×××+×××＝；

    得分为30分的概率为P（＝30）＝；

    得分为35分的概率为，P（＝35）＝；

    得分为40分的概率为P（＝40）＝．

    于是的分布列为

     

    20

    25

    30

    35

    40

    P

     

    ………………………………………………………………………………11分

    故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．

    该考生所得分数的数学期望为  ………………………………………13分

    17．（本小题满分14分）

    解法一：

    （Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面

    ABC，BC1在底面上的射影为CB．

    由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

    所以ACBC1………………………4分

    （Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C1E．

    由CC1底面ABC可得C1EAB．

    故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．

    在ABC中，CE＝，

                 在RtCC1E中，tanC1EC＝＝，

    故所求二面角的大小为arctan．……9分

    （Ⅲ）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．

    设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．连接OD．

    在△ABC1中，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，

    ∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，

    ∴AC1∥平面CDB1．

    故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分

      解法二：

    ∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

    ∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则

    C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

    （Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

    ∴?＝0，故ACBC1   ………………………………………………4分

    （Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为             n＝（x0，y0，z0），

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    ＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

    由得

    令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．

    则n＝（4，3，3）．

    故cos＜m，n＞＝＝．

    所求二面角的大小为arccos.   ………………………………………9分

    （Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分

    18．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分

    因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，

    所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分

    又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，＝1．

    解得a＝1． …………………………………………………………………6分

    （Ⅱ）f ′（x）＝a+.

    因为a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分

    令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分

    所以，f（x）的单调增区间是，

    f（x）的单调减区间是．………………………………………13分

    19．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－），故设椭圆方程为+＝1．

    将点A（1，）代入方程得+＝1，整理得a4－5a2+4＝0，

    解得a2＝4或a2＝1（舍）．

    故所求椭圆方程为+＝1． …………………………………………6分

    （Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），

    代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2－4＝0，   …………………………9分

    由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．

    由x1+x2＝-m，x1x2＝，

    故＝＝．

    又点A到BC的距离为d＝， …………………………………………11分

    故＝?d＝≤?＝，

    当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足＞0）

    所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分

    20．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）依题意有yn＝+，于是yn+1－yn＝．

    所以数列是等差数列． ………………………………………………4分

    （Ⅱ）由题意得＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①

    所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）．                 ②……………………6分

    由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．那么得

    x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，

    x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）

    故xn＝  ……………………………………………10分

    （Ⅲ）当n为奇数时，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；

    当n为偶数时，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；

    作BnCnx轴，垂足为Cn，则＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只需＝2.

    当n为奇数时，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①

    当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，①式无解．

    当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．

    综上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或.  ………………………………………………………………………14分

     


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