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已知x，y均为正数，且x＞y，求证：．

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A．必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，则集合=   ▲   ．

2． 已知函数，则的最小正周期是      ▲        ．

3． 经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为      ▲        ．

4． 若复数满足则       ▲       ．

5． 程序如下：

t←1

i←2

While  i≤4

t←t×i

i←i＋1

End  While

Print  t

以上程序输出的结果是       ▲       ．

6． 若的方差为3，则的方差

为     ▲     ．

7． 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为，则四面体的外接球的体积为    ▲    ．

8． 以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是      ▲        ．

9． 设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是       ▲       ．

10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是       ▲       ．

11．数列中，，且（，），则这个数列的通项公式

     ▲         ．

12．根据下面一组等式：

…………

可得       ▲       ．

13．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于       ▲       ．

14．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是      ▲        ．

答案：1．{6，7}   2．   3．   4．  5．24   6．27   7．  8．

 　   9．0＜a≤  10．   11．    12．  　13．　　14．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题14分）

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

（1）求证：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，

A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁内，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………………………7分

当，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁．………………………………8分

事实上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分别是BC、B₁C₁的中点，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． …………………………………………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  ……………………………………………………………12分

所以四边形ADE A₁为平行四边形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁内，故A₁E∥平面AD C₁． ………………………………………14分

16．（本小题14分）

如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．

（1）求sin∠BAD的值；

（2）设△ABD的面积为S_△ABD，△BCD的面积为S_△BCD，求的值．

解  （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，

则AC=10，．………………2分

又∵，AB=13，

∴． …………………………4分

∵，∴． …………………………………………………5分

∴．……………………………………………………8分

（2），，， 11分

则，∴．……………………………………14分

17．（本小题15分）

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日    期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

温差（°C）

10

11

13

12

8

发芽数（颗）

23

25

30

26

16

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

 （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?

解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分

所以  ．…………………………………………………………………4分

答：略． ……………………………………………………………………………………5分

（2）由数据，求得．………………………………………………………………7分

由公式，求得，． …………………………………………………9分

所以y关于x的线性回归方程为． …………………………………………10分

（3）当x=10时，，|22－23|＜2；…………………………………………12分

同样，当x=8时，，|17－16|＜2．……………………………………14分

所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．  ……………………………………15分

18．（本小题15分）

抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数λ，使0，．

（1）求直线AB的方程；

（2）求△AOB的外接圆的方程．

解：（1）抛物线的准线方程为．

∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=． …1分

设直线AB：，而

由得． ……………………………………………3分

∴||== ．∴．……………6分

         从而，故直线AB的方程为，即．……………………8分

（2）由 求得A（4，4），B（，－1）．……………………………………10分

设△AOB的外接圆方程为，则

         解得 ………………………………………………14分

故△AOB的外接圆的方程为．…………………………………15分

19．（本小题16分）

已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．………1分

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，…………………2分

         只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．……4分

（2）由（1），得．．…………5分

∵在其定义域内为单调函数，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．………………………6分

 等价于，即，

     而 ，（）_max=1，∴． …………………………………………8分

等价于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

综上，m的取值范围是． ………………………………………………10分

（3）构造，．

当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立． ………………………………………………………12分

当时，．…………………………14分

因为，所以，，所以在恒成立．

故在上单调递增，，只要，

解得．

故的取值范围是．………………………………………………………16分

20．（本小题16分）

已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．

（1）求a的值；

    （2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3． …………………………2分

再由，得  ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．  ………………………………………………………4分

于是，根据，可得．…………………………………………………6分

（2）由，对于任意的，均存在，使得，则

．

又，由数的整除性，得b是5的约数．

故，b=5．

所以b=5时，存在正自然数满足题意．…………………………………………9分

（3）设数列中，成等比数列，由，，得

．

化简，得．     （※）  …………………………………………11分

当时，时，等式（※）成立，而，不成立． …………………………12分

当时，时，等式（※）成立．…………………………………………………13分

当时，，这与b≥3矛盾．

这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分

综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分

B．附加题部分

21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1（几何证明选讲）

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD

切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是

OB的中点，求BC的长．

解：连接OD，则OD⊥DC．

在Rt△OED中，OE=OB=OD，

∴∠ODE=30°．  ………………………………3分

在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分

由DC=2，则OB=OD=DCtan30°=，……………………9分

所以BC=OC－OB=． …………………………………………………………………10分

B．选修4－2（矩阵与变换）

将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．

解：由题意，得旋转变换矩阵，  ……………………3分

设上的任意点在变换矩阵M作用下为，，

∴  ………………………………………………………………………7分

得．

将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为．……10分

C．选修4－4（坐标系与参数方程）

求直线（t为参数）被圆（α为参数）截得的弦长．

解：把直线方程化为普通方程为．…………………………………………3分

将圆化为普通方程为．……………………………………