（本小题满分12分）

    已知椭圆的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为，且抛物线与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）。

   （1）求椭圆和抛物线的方程；

   （2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D为轨迹方程。

 

已知Ａ、B是圆上满足条件的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作轴的垂线段，交椭圆于点，动点P满足.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设S₁和S₂分别表示和的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求的最大值。

 

设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．

如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为S₁与S₂．
（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；
（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．